Le risorse probabilistiche e il limite universale di probabilità

Percorso: Matematica del Design
Modulo 3

Prerequisiti:
Modulo 2 – La specificazione
Guida alla lettura
Disclaimer

Introduzione: quanto piccolo è abbastanza piccolo?

Il modulo 2 ha mostrato che cosa rende un evento specificato: la possibilità di descriverlo con un modello breve, indipendente dall’evento stesso, che induce una regione di rifiuto nello spazio delle possibilità. Ma la specificazione, da sola, non elimina nulla. Un evento specificato viene sottratto al caso solo se la sua probabilità è anche piccola, e la parola «piccola» è, presa alla lettera, priva di contenuto. Piccola rispetto a che cosa? Dieci teste di fila hanno una probabilità di circa uno su mille, che sembra piccola finché non si lanciano monete per un pomeriggio intero: allora dieci teste consecutive diventano attese, e con abbastanza lanci diventano inevitabili. Una probabilità non è mai piccola in assoluto, ma solo in relazione al numero di occasioni che l’evento ha di verificarsi.

Questo modulo è dedicato al secondo ingrediente dell’inferenza al design: il conteggio delle occasioni. Dembski ed Ewert chiamano questo conteggio risorse probabilistiche e ne ricavano, per una via che seguiremo passo per passo, un limite universale di probabilità: la soglia sotto la quale un evento specificato rimane improbabile anche se l’intero universo osservabile non facesse altro, per tutta la sua storia, che tentare di produrlo. Il numero che ne risulta, 1 su 10¹⁵⁰, equivalente a circa 500 bit, è forse la cifra più citata di tutta la letteratura sul disegno intelligente. È anche una delle più fraintese: viene presentata a volte come una costante fisica, a volte come un numero preso dal cappello. Non è né l’una né l’altra cosa. È il risultato di un calcolo con ipotesi esplicite e deliberatamente generose, e vale esattamente quanto valgono quelle ipotesi.

Una precisazione di metodo: su questo sito il disegno intelligente è presentato come deduzione logica e filosofica a partire da dati empirici, non come teoria scientifica già consolidata (si veda la Guida alla lettura). In questo modulo non compare ancora alcuna inferenza al progetto: si stabilisce solo che cosa significhi, in termini quantitativi, che il caso «non basta». La deduzione vera e propria, con la sua struttura logica, è materia del modulo 4.

1. Che cos’è una risorsa probabilistica

Le risorse probabilistiche sono definite come il numero di opportunità che un evento ha di verificarsi. Per calcolarle bisogna individuare i diversi modi in cui l’evento potrebbe accadere e contarli. Dembski ed Ewert usano un’analogia presa dalla psicologia clinica: il «problema presentato» non è mai il «problema reale». Allo stesso modo, la probabilità presentata di un evento, quella calcolata per un singolo tentativo, non è mai la sua probabilità reale, che si ottiene solo dopo aver messo in conto tutte le risorse probabilistiche pertinenti.

Interi settori economici vivono di questo calcolo senza chiamarlo così. La sicurezza informatica deve chiedersi quanti tentativi ha a disposizione chi vuole forzare le password di un server, e se anche tutti quei tentativi lascino la violazione improbabile. Le compagnie di assicurazione stimano quante volte un comportamento rischioso verrà ripetuto prima che il danno diventi quasi certo. Nella roulette russa, con sei camere e un proiettile, la probabilità di morire dipende da quante volte il giocatore intende premere il grilletto: l’evento «presentato» ha probabilità 1/6, l’evento reale dipende dal numero di ripetizioni.

Salvo indicazione contraria, le diverse opportunità che compongono un insieme di risorse probabilistiche si assumono probabilisticamente indipendenti, ma l’assunzione non è necessaria e va talvolta abbandonata. Un’urna con una pallina bianca e 999 nere lo mostra bene. Con estrazioni con reimbussolamento, mille tentativi danno una probabilità di circa 0,632 di vedere la pallina bianca; senza reimbussolamento, mille tentativi garantiscono di trovarla (probabilità 1), perché si svuota l’urna. Si può anche rendere le risorse meno efficienti dell’indipendenza: se a ogni estrazione di una pallina nera se ne aggiungono altre mille, la probabilità di trovare la bianca in mille tentativi scende a circa 0,0075. La struttura delle opportunità, e non solo il loro numero, entra nel calcolo.

Ne The Design Revolution Dembski distingue inoltre due specie di risorse: quelle replicative, cioè il numero di volte che si può tentare l’evento, e quelle specificazionali, cioè il numero di bersagli che si può legittimamente dichiarare di aver mirato. L’immagine è un muro con N bersagli dipinti e una faretra con M frecce: la probabilità di colpire almeno un bersaglio con almeno una freccia, se p è la probabilità di centrare un singolo bersaglio con un singolo tiro, è limitata da M×N×p. Il modulo 2 ha già trattato, sotto il nome di complessità specificazionale, il modo in cui i modelli brevi tengono sotto controllo il numero N; questo modulo si occupa di M e, più in generale, del prodotto complessivo.

2. Il regresso di Borel

Il primo modulo ha presentato la legge unica del caso di Émile Borel: i fenomeni con probabilità molto piccola non si verificano. Borel capì che una legge del genere resta vuota senza un numero, e ne propose uno. Nei suoi scritti degli anni Trenta e Quaranta fissò la soglia delle probabilità «trascurabili su scala cosmica» a 1 su 10⁵⁰. Il ragionamento è riportato da Dembski ed Ewert nella sezione 1.2: il numero di stelle osservabili è dell’ordine del miliardo, il numero di osservazioni che gli abitanti della Terra potrebbero fare di quelle stelle, anche se tutti fossero osservatori, è certamente inferiore a una certa soglia, e dunque un evento di probabilità 10⁻⁵⁰ «non si verificherà mai, o almeno non sarà mai osservato». Borel distingueva anche una scala umana, una scala terrestre e una scala cosmica, con soglie diverse per ciascuna.

L’astrofisica di Borel è datata: le stelle dell’universo osservabile sono molti ordini di grandezza più del miliardo. Ma, osservano gli autori, non è questo il vero problema. Il difetto dell’argomento di Borel non è che sbaglia, ma che non va abbastanza lontano, e lo fa in tre punti.

Primo: Borel non distingue il verificarsi di un evento dalla sua osservazione. Un evento può non essere mai osservato da noi e tuttavia verificarsi, magari spesso, in un universo abbastanza grande. L’origine spontanea della vita, per esempio, potrebbe avere probabilità inferiore a 10⁻⁵⁰ sulla Terra e probabilità quasi certa alla scala dell’universo: in tal caso non dovremmo aspettarci di osservarla qui, ma la Terra potrebbe essere uno dei luoghi fortunati. Borel non chiarisce se la sua legge riguardi ciò che accade o ciò che vediamo.

Secondo: Borel trascura il contesto e gli interessi di chi indaga. Nella maggior parte delle indagini 10⁻⁵⁰ è troppo severo; in altre potrebbe non esserlo abbastanza. Quando Fisher accusò l’assistente di Mendel di aver aggiustato i dati, l’evento che fece scattare l’accusa aveva una probabilità di circa 4 su 100.000. Gli scienziati sociali sono meno esigenti dei tribunali penali, che a loro volta sono meno esigenti dei cosmologi. Borel ammette che la «scala umana» e la «scala cosmica» differiscono, ma non spiega come il contesto determini la soglia.

Terzo, e decisivo per questo modulo: Borel non chiarisce mai come il suo limite dipenda dal numero di opportunità. Il legame è evidente. Se un evento di probabilità 10⁻⁵⁰ ha 10⁵⁰ opportunità indipendenti di verificarsi, la probabilità che accada almeno una volta è di circa 0,632, leggermente migliore della pari. Supponiamo allora di concedere a Borel che nell’universo nessun evento abbia un numero di opportunità vicino a 10⁵⁰, ma solo, poniamo, un numero molto minore: l’evento avrà allora una probabilità complessiva ancora piccolissima. Ma così abbiamo soltanto sostituito una probabilità assurdamente piccola con un’altra. C’è un regresso: per dire che una probabilità è piccola invochiamo un numero di opportunità, e il prodotto dei due è a sua volta una probabilità, di cui dovremmo dire se è piccola. Il regresso non è infinito, ma Borel non indica la via d’uscita. La via d’uscita esiste, ed è il contenuto delle sezioni che seguono: si tratta di stimare le opportunità per eccesso, in modo così generoso che il prodotto finale risulti non solo minore di ½, ma minore di ½ di molti ordini di grandezza.

3. Come si calcolano: il caso della crittografia

La crittografia offre l’esempio più pulito di calcolo delle risorse probabilistiche, perché il rischio vi è sempre in primo piano: un sistema è sicuro se resiste a tutti i tentativi che un avversario può realisticamente compiere. Nel 1996 il National Research Council statunitense, nel rapporto Cryptography’s Role in Securing the Information Society curato da Kenneth Dam e Herbert Lin, si pose la domanda nella forma più radicale: qual è la lunghezza di chiave sufficiente a resistere alla ricerca esaustiva indipendentemente da quanto i computer diventeranno veloci e numerosi?

La risposta parte dai vincoli della fisica. La massa della Terra è di circa 6×10²⁴ kg; la massa di un protone è di circa 1,67×10⁻²⁷ kg; la Terra contiene quindi circa 3,6×10⁵¹ protoni. Si supponga che ogni protone sia un computer e che ogni computer esegua un’operazione nel tempo che la luce impiega ad attraversare il diametro di un protone, circa 3×10⁻²⁴ secondi: ciascuno esegue allora circa 3×10²³ operazioni al secondo, e tutti insieme, in parallelo, circa 10⁷⁵ operazioni al secondo. L’età dell’universo è dell’ordine di dieci miliardi di anni, cioè circa 3×10¹⁷ secondi. Una quantità di computer grandi come protoni pari alla massa della Terra può quindi eseguire, nell’intera età dell’universo, circa 10⁹² operazioni. Il rapporto conclude che questo corrisponde a una chiave di 95 cifre decimali, o circa 320 bit, e che «è chiaramente possibile specificare una dimensione della chiave sufficientemente grande da garantire che un attacco basato sulla ricerca esaustiva non sarà mai possibile, indipendentemente dai progressi dell’hardware o degli algoritmi di calcolo convenzionali».

Dembski ed Ewert notano un piccolo errore aritmetico: 2³²⁰ vale circa 2×10⁹⁶, quindi 320 bit corrispondono ad almeno 96 cifre decimali, non 95. Se tutte le 10⁹² operazioni disponibili sulla Terra fossero dedicate a una singola chiave di 320 bit, la probabilità di trovarla resterebbe comunque molto inferiore alla pari. La lezione importante è però un’altra: la chiave da trovare è una prespecificazione, fissata prima di ogni tentativo di ricerca, e le risorse probabilistiche sono il numero di tentativi che la fisica consente contro quel bersaglio.

Dove sta il caso in una ricerca esaustiva

Si potrebbe obiettare che una ricerca esaustiva è deterministica: percorre lo spazio delle chiavi in un ordine prefissato, senza lanciare dadi. Che cosa c’entra la probabilità? Il caso entra dal lato della chiave, che viene tipicamente scelta con campionamento uniforme sullo spazio delle chiavi: ognuna ha la stessa probabilità, 1/K se lo spazio contiene K chiavi. Un cercatore che non abbia conoscenze particolari sulla chiave ha probabilità 1/K di trovarla al primo tentativo, 1/(K−1) al secondo dato il fallimento del primo, e così via. Una nota del capitolo mostra il conto: la probabilità di fallire in tutti gli M tentativi è (K−1)/K × (K−2)/(K−1) × … × (K−M)/(K−M+1) = (K−M)/K, e quindi la probabilità di almeno un successo in M tentativi è esattamente M/K. Quando M è molto minore di K, cosa che i matematici scrivono M ≪ K, questa probabilità è così bassa da rendere praticamente certo il fallimento. È il problema dell’ago nel pagliaio: la ricerca può essere avviata, ma non conclusa.

La formula M/K è la scheletro di tutto il capitolo: le risorse probabilistiche sono M, la probabilità presentata è 1/K, la probabilità reale è il loro prodotto. Se qualcuno pensa che 10⁹² operazioni siano poche, noti che la stessa matematica vale per più chiavi contemporaneamente: distribuire le operazioni tra molte chiavi diluisce i tentativi disponibili per ciascuna, e la probabilità di trovarne almeno una non supera quella di trovare una sola chiave con l’intero complemento di operazioni.

Una parola sul calcolo quantistico, che il rapporto del NRC non considerava. L’algoritmo di Shor, se mai girasse su un computer quantistico di scala reale, potrebbe rompere alcuni crittosistemi basati su numeri primi; ma non lo farebbe con una ricerca esaustiva più veloce, bensì aggirando la ricerca grazie a vincoli numerici particolari delle chiavi. Il limite del NRC sulla ricerca esaustiva, osservano Dembski ed Ewert, resta valido; e casi come quello di Shor non sono generalizzabili.

4. Risorse relative e risorse assolute

Il limite imposto dalla fisica al numero di tentativi è una cosa; il numero di tentativi che la tecnologia attuale può davvero eseguire è un’altra, e molto più piccola. I primi sono risorse probabilistiche assolute; le seconde, risorse probabilistiche relative. Nel giugno 2022 il supercomputer più veloce al mondo era il Cray EX235a degli Oak Ridge National Laboratories, con circa 1,7×10¹⁸ operazioni in virgola mobile al secondo. Si immagini di dedicargli dieci anni (315 milioni di secondi) per rompere una sola chiave, un periodo già assurdamente generoso per un’attività che di norma deve concludersi in ore. Si immagini poi, per essere non solo generosi ma scialacquatori, un miliardo di Cray tutti dedicati alla stessa chiave: si arriva a circa 10³⁶ operazioni. Uno spazio con 2×10³⁶ chiavi darebbe, con quelle risorse, probabilità pari di successo. Dieci anni prima, il computer più veloce era ancora un Cray a Oak Ridge, cento volte più lento: le risorse relative sarebbero state 10³⁴.

La disparità tra il 10³⁶ della tecnologia e il 10⁹² della fisica è di 56 ordini di grandezza, e nessuna legge di Moore la colmerà. Le risorse relative riflettono i limiti pratici; le risorse assolute riflettono i limiti della fisica fondamentale. Le prime variano con il contesto e con gli interessi in gioco. Per le carte Visa, il modulo 1 ha ricordato che un singolo tentativo casuale di indovinare i dati numerici di una carta ha probabilità di successo di circa uno su un miliardo di miliardi, 10⁻¹⁸; finché i tentativi casuali realisticamente possibili restano ben al di sotto di 10¹⁸, cosa vera nella pratica, le carte sono al sicuro dall’indovinello casuale, e infatti chi vuole rubare numeri di carta ricorre al phishing, non alla forza bruta.

Le risorse relative possono essere anche vistosamente piccole. Si consideri una password di otto cifre decimali, dunque cento milioni di possibilità: un mero 10⁸, indifendibile contro risorse dell’ordine di 10¹⁰ o più. Ma se tre tentativi sbagliati bloccano l’account e richiedono uno sblocco manuale, le risorse probabilistiche rilevanti sono 3, e la probabilità di entrare a caso è inferiore a 3 su 10⁸: un livello di sicurezza che molti giudicherebbero accettabile per l’abbonamento a una rivista, se non per il conto in banca. Il proprietario della rivista, però, che ha milioni di abbonati e vuole che nessuno venga violato, dovrà considerare risorse molto maggiori e imporre password di almeno dodici caratteri con numeri e simboli. Con le risorse relative bisogna sempre chiarire chi sono i soggetti interessati e quale sia la loro esigenza di escludere il caso. Ai limiti di probabilità che ne derivano, Dembski ed Ewert danno il nome di limiti locali; li riprenderemo nella sezione 8.

5. Le variazioni delle risorse assolute: dalla Terra al tempo di Planck

Si potrebbe pensare che, se qualcosa è «assoluto», sia immune da variazioni. Non è così: le risorse assolute dipendono da quale limite fisico si sceglie di prendere come vincolo, e limiti diversi danno numeri diversi. Il calcolo del NRC ha usato la massa della Terra. Ma perché fermarsi alla Terra? La massa del Sole è 333.000 volte maggiore; quella della Via Lattea è dell’ordine di 10⁴² kg; e la linea di ragionamento ha un punto d’arresto naturale nella massa totale dell’universo osservabile, che le stime attuali collocano intorno a 10⁵³ kg di materia ordinaria (la materia oscura, le cui capacità di calcolo sono ignote, resta esclusa). Sostituendo questo valore nel calcolo del NRC, si ottengono circa 10⁸⁰ protoni, ciascuno capace di 3×10²³ operazioni al secondo per 10¹⁷ secondi: il numero massimo di operazioni alla scala dell’intero universo sale a circa 10¹²⁰, che corrisponde a circa 400 bit.

Si può andare oltre. Nel calcolo del NRC la velocità di un’operazione era fissata dal tempo che la luce impiega ad attraversare un protone. Ma la più piccola unità di lunghezza fisicamente significativa non è il diametro del protone (10⁻¹⁵ metri) bensì la lunghezza di Planck (circa 1,6×10⁻³⁵ metri), venti ordini di grandezza più piccola; il tempo corrispondente, il tempo di Planck, è di circa 5×10⁻⁴⁴ secondi. Prendere il tempo di Planck come durata minima di un’operazione innalza le risorse assolute alla scala dell’universo da 10¹²⁰ a circa 10¹⁴⁰, circa 465 bit. Infine, se invece dei soli protoni si contano tutte le particelle elementari (barioni, fotoni, neutrini e così via), il numero di particelle potenzialmente calcolanti cresce di circa dieci ordini di grandezza, e le risorse assolute arrivano a 10¹⁵⁰.

Questo è il numero che ricevette un trattamento speciale nella prima edizione di The Design Inference (1998), dove il calcolo era presentato in forma più diretta: circa 10⁸⁰ particelle elementari nell’universo osservabile, transizioni di stato non più veloci di 10⁴⁵ al secondo (il reciproco del tempo di Planck), un’età dell’universo di ordine 10²⁵ secondi, misurata con generosità fino alla sua morte termica. Il prodotto 10⁸⁰ × 10⁴⁵ × 10²⁵ = 10¹⁵⁰ è il numero massimo di eventi specificati che potrebbero mai essere realizzati nella storia cosmica, se ogni specificazione richiede almeno una particella elementare e almeno un tempo di Planck. La seconda edizione conserva a 10¹⁵⁰ il suo status privilegiato, ma lo colloca dentro una gamma più ampia, di cui rappresenta un punto intermedio.

L’universo come computer: i numeri di Lloyd

Esiste infatti un approccio che spinge i numeri ancora più in alto, dovuto al teorico della computazione quantistica Seth Lloyd, che tratta l’universo come un gigantesco computer quantistico. In un articolo su Nature del 2000, Lloyd calcola le prestazioni del «portatile definitivo», un chilogrammo di materia in un litro di volume: circa 10⁵¹ operazioni logiche al secondo su circa 10³¹ bit. In un articolo su Physical Review Letters del 2002 calcola che l’universo osservabile, dal big bang a oggi, può aver eseguito circa 10¹²⁰ operazioni logiche elementari su circa 10⁹⁰ bit, o addirittura 10¹²⁰ bit se si includono i gradi di libertà gravitazionali. Prendendo il valore maggiore, 10¹²⁰ operazioni su 10¹²⁰ bit danno 10²⁴⁰ operazioni-bit: questo, se non si esce dall’universo osservabile invocando un multiverso, è il massimo di risorse probabilistiche coerente con la letteratura scientifica attuale. I numeri di Lloyd non sono stati migliorati in vent’anni.

Serve davvero spingersi fino a 10²⁴⁰? Gli autori pensano di no, e nella sezione 7 vedremo perché in pratica ci si può accontentare di molto meno. Ma vale la pena notare che spazi di possibilità di quelle dimensioni non sono affatto esotici; si incontrano di continuo. Una moneta lanciata 500 volte produce 2⁵⁰⁰ ≈ 3×10¹⁵⁰ sequenze possibili, e lanciata 800 volte ne produce 2⁸⁰⁰, più di 10²⁴⁰. Un tabellone del torneo di basket universitario March Madness si può compilare in circa 2⁶³ ≈ 9×10¹⁸ modi, e tredici tabelloni compilati separatamente superano 10²⁴⁰. Il codice QR più grande è una matrice 177×177, con oltre 31.000 moduli bianchi o neri: le sue possibilità superano 10²⁴⁰ di migliaia di ordini di grandezza. Le proteine sono polimeri con 20 amminoacidi possibili in ogni posizione, e 20¹⁸⁵ ≈ 10²⁴⁰: lo spazio delle proteine di 185 amminoacidi supera già 10²⁴⁰, mentre una proteina media negli eucarioti ha oltre 400 amminoacidi. Il DNA ha quattro basi per posizione, e 4⁴⁰⁰ = 2⁸⁰⁰ supera 10²⁴⁰: bastano 400 coppie di basi, che codificano al massimo 133 amminoacidi. Il genoma umano, con circa 3 miliardi di coppie di basi, apre uno spazio di 4^{3.000.000.000}, un numero con circa un miliardo e ottocento milioni di zeri.

6. La sovraesponenzialità e la regola del non doppio conteggio

Quest’ultimo numero introduce una categoria che ogni discussione sulle risorse probabilistiche deve affrontare: i sovraesponenziali (o esponenziali composti), numeri i cui esponenti sono a loro volta esponenziali, o, equivalentemente, numeri il cui logaritmo è esponenziale. Lo spazio del genoma umano, 10^{1.800.000.000}, è un sovraesponenziale modesto. Roger Penrose ha sostenuto che l’universo attuale ha richiesto il superamento di un vincolo entropico di una parte su 10¹⁰¹²³: un sovraesponenziale enormemente più grande (ne parla l’articolo sulle condizioni iniziali del Big Bang). In un articolo con Samuel Haug e Robert Marks, Dembski ha sostenuto che i sovraesponenziali sono inevitabili nell’intelligenza artificiale: mentre la complessità di un sistema cresce linearmente, le contingenze che deve affrontare crescono esponenzialmente, e i modi di rispondere a quelle contingenze crescono in modo sovraesponenziale.

La tesi del capitolo è netta: il numero di risorse probabilistiche in qualsiasi situazione pratica non deve mai diventare sovraesponenziale. Se accade, si è commesso un errore di conteggio. L’errore tipico è il doppio conteggio, e la regola che lo previene è che le risorse probabilistiche non devono contare eventi che si sovrappongono ad altri già contati. Una risorsa probabilistica è un’opportunità di ripetere un evento; come con le monete non vogliamo spendere due volte, così con gli eventi non vogliamo contare due volte.

L’esempio degli autori chiarisce quanto il rischio sia reale. Sia E l’evento «500.000 teste di fila» e si considerino 1.000.000 di lanci effettivi. Quante opportunità di ottenere E offrono? Se pensiamo alle risorse come frecce scagliate contro un bersaglio, la risposta naturale è due: i primi 500.000 lanci e i secondi 500.000. Ma è accettabile anche un conteggio più fine: ogni sequenza ininterrotta di 500.000 lanci consecutivi è un’opportunità, comprese le 499.999 che stanno a cavallo tra la prima e la seconda metà, per un totale di 500.001. Si potrebbe anche rimescolare l’ordine dei lanci e contare in quello. Qualunque metodo va bene, a condizione di non contare due volte eventi che si sovrappongono.

Ecco che cosa va storto altrimenti. Dal punto di vista combinatorio, i modi di scegliere 500.000 lanci tra 1.000.000 sono C(1.000.000, 500.000), che per la formula di Stirling è dell’ordine di 10^300.000: un piccolo sovraesponenziale, ma un sovraesponenziale, ben oltre qualunque risorsa dell’universo osservabile. Ogni modo di scegliere 500.000 lanci è un evento; se li contassimo tutti come risorse, spiegheremmo con facilità 500.000 teste di fila. In un milione di lanci c’è infatti probabilità circa pari che almeno 500.000 teste compaiano da qualche parte, e una di quelle selezioni potrebbe essere vista come coincidente con l’evento cercato. E se guardassimo il primo, il terzo, il quinto lancio e fossero tutte teste? E il secondo, il quarto, il sesto? Il punto è che un milione di lanci produce un numero sovraesponenziale di eventi, e la stragrande maggioranza di essi deve essere esclusa dal novero delle risorse, altrimenti le risorse diventano inutili. In termini insiemistici, due eventi non si sovrappongono se la loro intersezione è vuota; se condividono anche un solo lancio, si sovrappongono, e la sovrapposizione invalida il conteggio. Nella pratica la tentazione è rara: c’è quasi sempre un modo ovvio di individuare risorse non sovrapposte, e chi non lo fa viene punito in fretta. Le strategie di gioco d’azzardo che ammettono sovrapposizioni falliscono invariabilmente.

Possibilità mere e possibilità realizzabili

C’è un secondo modo in cui la sovraesponenzialità minaccia di far deragliare un argomento da piccole probabilità: confondere il numero totale di possibilità concepibili con il numero di possibilità realizzabili. Un milione di coppie di basi di DNA ha 4^1.000.000 ≈ 10^602.000 sequenze possibili; ma il numero di sequenze che potrebbero essere effettivamente realizzate in un dato momento, anche se tutti gli atomi dell’universo si dedicassero a formarle, è di gran lunga inferiore a 10⁸⁰, il numero dei protoni nell’universo, dato che in ogni singola coppia di basi sono coinvolti molti protoni.

Il divieto sembra troppo ovvio per essere menzionato, ma l’errore è stato commesso. Howard Landman, in una critica del 2008 alla formulazione della complessità specificata data da Dembski nell’articolo Specification: The Pattern That Signifies Intelligence (2005), sostenne che i 10⁹⁰ bit di Lloyd su cui l’universo può operare comportano 2¹⁰⁹⁰ «stati accessibili», e che questo sovraesponenziale è il limite corretto delle risorse probabilistiche alla scala dell’universo. Va concesso che tutti quegli stati sono in linea di principio accessibili: sono il numero totale delle mere possibilità. Ma ciascuna delle 10¹²⁰ operazioni di Lloyd cambia i bit da uno stato a un altro, e produce dunque una totalità di risorse probabilistiche limitata a 10¹²⁰ × 10⁹⁰ = 10²¹⁰ (o 10²⁴⁰ con i gradi di libertà gravitazionali). Le possibilità realizzabili sono queste, e sono incommensurabilmente meno di 2¹⁰⁹⁰. Un universo che ha a disposizione un numero finito di operazioni non può visitare un numero sovraesponenziale di stati, per la stessa ragione per cui un viaggiatore con un numero finito di passi non può visitare tutte le città di una mappa infinita.

7. Minimizzare: quanto poco basta

Finora le risorse assolute si sono mosse tra 10¹²⁰ e 10²⁴⁰. Ma nel ragionare con piccole probabilità ci si può accontentare di molto meno, anche in senso assoluto, e c’è una ragione per volerlo. A parità di altre condizioni, è preferibile avere meno risorse probabilistiche che più: meno risorse significa meno opportunità da esaminare per stabilire se qualcosa è o non è frutto del caso. Servono 10³⁰ risorse per rendere probabili 100 teste di fila, ma 10¹⁵⁰ per renderne probabili 500. Più si alza l’asticella delle risorse, più diventa difficile eliminare il caso e più numerosi diventano i falsi negativi: casi in cui si attribuisce al caso ciò che avrebbe dovuto essere attribuito al disegno. Se 10⁵⁰ fissasse le risorse assolute, come è implicito nel limite di Borel, allora improbabilità del livello di 200 teste di fila (2⁻²⁰⁰ ≈ 10⁻⁶⁰) basterebbero a escludere il caso per eventi prespecificati. Un insieme ridotto di risorse assolute rende più facile eliminare il caso e più difficile sbagliare per difetto.

Di quanto, dunque, si possono abbassare le risorse assolute sotto il 10¹²⁰ calcolato finora? Gli autori considerano due approcci, entrambi a scala terrestre.

Il primo è empirista: assume il punto di vista di tutti i possibili osservatori umani. Si stima che siano esistiti non più di 100 miliardi (10¹¹) di esseri umani nella storia della Terra. Si conceda a ciascuno cento anni, circa 3 miliardi di secondi, per condurre esperimenti basati sul caso, e si doti ciascuno di un supercomputer da una tonnellata, cioè circa 6×10²⁹ protoni, ognuno operante a 3×10²³ operazioni al secondo, una macchina massicciamente parallela in cui ogni operazione avviene nel tempo che la luce impiega ad attraversare un protone. Il prodotto di questi numeri è poco meno di 10⁷⁴: le operazioni che tutti gli esseri umani mai esistiti, così equipaggiati, potrebbero dedicare a una ricerca esaustiva. È diciotto ordini di grandezza meno del 10⁹² del NRC.

Il secondo approccio è biologico: stima il numero totale di eventi di replicazione nella storia naturale della Terra. La biomassa attuale del pianeta è stimata in circa 500 trilioni di chilogrammi, 5×10¹⁴ kg; per tener conto di estinzioni e variazioni, la si raddoppi e si assuma che, in ogni momento dei circa 4 miliardi di anni di vita sulla Terra, la biomassa sia stata di 10¹⁵ kg. Un batterio tipico ha massa di circa un picogrammo, 10⁻¹⁵ kg; se l’intera biomassa fosse fatta di batteri, in ogni istante non ci sarebbero più di 10³⁰ organismi. Il tempo di riproduzione più rapido è di alcuni minuti (le cellule batteriche raddoppiano ogni 4-20 minuti), ma si sia generosi e si ammetta una riproduzione al secondo. Quattro miliardi di anni sono meno di 10¹⁸ secondi. Un limite superiore estremamente generoso al numero di organismi mai esistiti è quindi circa 10⁴⁸. Per confronto, Michael Behe in The Edge of Evolution stima in 10⁴⁰ il numero di cellule batteriche nella storia della vita, e poiché i batteri superano di gran lunga tutti gli altri organismi, questa cifra dovrebbe essere vicina al totale reale: il 10⁴⁸ è dunque una sovrastima di otto ordini di grandezza.

Poiché gli eventi evolutivi si verificano quando cambiamenti ereditabili passano dai genitori alla progenie, chi cercasse un evento evolutivo prespecificato di probabilità 1 su 10⁴⁸ avrebbe probabilità circa pari di vederlo tra tutti questi organismi; per un evento di probabilità 1 su 10⁵⁰, la probabilità scende sotto 1 su 100. Gli autori concludono che le risorse assolute per la biologia possono essere fissate a 10⁵⁰, un numero che sembra sicuro come limite superiore per gli eventi casuali in tutti i sistemi biologici della Terra. E aggiungono un’osservazione notevole: se 10⁵⁰ è adeguato per la biologia, dove non lo sarebbe? Non conoscono nessuna inferenza al design in un contesto realistico che richieda più di 10⁵⁰ risorse. Una teoria scientifica che avesse bisogno di tante risorse, e si permettesse di attribuire al caso eventi prestabiliti di improbabilità 1 su 10⁵⁰, starebbe concedendo troppo al caso.

Riassumendo: le risorse assolute variano tra 10⁵⁰ in basso e 10²⁴⁰ in alto. L’aspetto notevole, sottolineano gli autori, è che numeri calcolati a partire da caratteristiche fisiche e biologiche così diverse cadano comunque in un intervallo ragionevolmente ristretto e superino i controlli di plausibilità su entrambi i fronti. Un valore come 10³⁰ sarebbe troppo basso, accessibile alla ricerca esaustiva dei supercomputer attuali; 10⁵⁰ è sicuro rispetto agli standard computazionali odierni con un margine di circa venti ordini di grandezza, e con la fine annunciata della legge di Moore (le stime vanno dal 2025 al 2055) non c’è motivo di pensare che i computer raggiungano 10⁵⁰ operazioni in tempi brevi, se mai lo faranno. Per il resto del libro, tuttavia, gli autori adottano come valore predefinito delle risorse assolute il 10¹⁵⁰ della prima edizione, giustificato in modo indipendente nella sezione 5, che corrisponde a 498 bit. È una scelta deliberatamente prudente: cento ordini di grandezza sopra ciò che la biologia richiederebbe.

8. Dalle risorse al limite: la regola del reciproco

Una semplice regola collega le risorse probabilistiche ai limiti di probabilità: per risorse probabilistiche di dimensione M, il limite di probabilità corrispondente è 1/M. Se le risorse sono assolute, il limite si dice universale; se sono relative, il limite si dice locale. Gli eventi di probabilità inferiore al limite sono così improbabili che, anche con tutte le risorse realisticamente ipotizzabili, restano improbabili fino all’implausibilità. Il limite di Borel, 1 su 10⁵⁰, corrisponde in questo schema a risorse di 10⁵⁰; il limite predefinito di Dembski ed Ewert, 1 su 10¹⁵⁰, a risorse di 10¹⁵⁰. In una nota gli autori osservano che sarebbe più coerente parlare di limiti «assoluti» e «relativi», ma l’uso di «universale» e «locale» è ormai corrente, e per i limiti universali risale a Borel.

Perché una relazione così elementare, una quantità reciproca dell’altra, riesce a chiudere il regresso di Borel? La risposta sta nel modo in cui le risorse sono state stimate. In ogni passaggio di questo modulo si è sbagliato deliberatamente per eccesso: computazioni alla velocità della luce sul diametro di un protone o sulla lunghezza di Planck, che nessun calcolatore reale o immaginabile raggiunge; organismi che si riproducono ogni secondo, cosa che nessun organismo fa. Sovrastimando sistematicamente M, si garantisce che il numero N di opportunità effettivamente disponibili sia di ordini di grandezza inferiore a M: in notazione quasi rigorosa, N ≪ M. Di conseguenza, un evento di probabilità p = 1/M non è improbabile con probabilità appena inferiore a ½, ma con probabilità inferiore a ½ di ordini di grandezza.

La matematica è elementare e vale la pena esporla, perché mostra che cosa si assume e che cosa no. Non si assume che le opportunità siano probabilisticamente indipendenti. Si assume solo che ciascuna delle N opportunità produca un evento di probabilità non superiore a p = 1/M, e che N sia molto minore di M. Siano E₁, E₂, …, E_N gli eventi, ciascuno di probabilità al più p, che corrispondono all’evento in questione. La probabilità che almeno uno di essi si verifichi è la probabilità della loro unione, P(E₁ ∪ E₂ ∪ … ∪ E_N), che per le regole della probabilità è minore o uguale a P(E₁) + P(E₂) + … + P(E_N), che a sua volta è minore o uguale a N×p = N/M. E N/M è di ordini di grandezza inferiore a ½. È la stessa disuguaglianza dell’unione già usata nell’immagine delle frecce e dei bersagli; qui è semplicemente applicata alla totalità delle opportunità cosmiche.

La soglia ½ merita un commento. È il confine sotto il quale un evento non ci si deve aspettare che accada: nelle scommesse a quota pari, un evento con probabilità inferiore a ½ non vale la puntata. Aumentare le risorse stimate di un fattore 100, come si è fatto passando da 10⁴⁸ a 10⁵⁰ con le risorse biologiche, rende un evento di probabilità 1 su 10⁵⁰ ancora più improbabile di due ordini di grandezza: un evento con probabilità inferiore a ½ per risorse 10⁴⁸ diventa un evento con probabilità inferiore a 1/200 per risorse 10⁵⁰.

Il limite universale come lista cosmica

C’è un modo intuitivo di vedere che cosa 10¹⁵⁰ pretende di catturare. Si immagini la storia cosmica di tutte le specificazioni e di tutti gli eventi che potrebbero mai comparire in un argomento di eliminazione del caso condotto nell’universo osservabile, come se formassero una lista gigantesca. Ogni voce della lista richiede l’attività di almeno un protone per almeno il tempo che la luce impiega ad attraversarne il diametro; la maggior parte richiede molti protoni per tempi molto più lunghi. Alcune specificazioni inducono regioni di rifiuto, e anche queste richiedono attività fisica e fanno parte della storia. Solo un numero limitato di specificazioni, di regioni di rifiuto e di corrispondenze con eventi può essere realizzato: 10¹⁵⁰ pone un limite rigido al numero di voci. Qualsiasi limite di probabilità basato su queste risorse rende la corrispondenza tra una regione di rifiuto e un evento così improbabile che non dovremmo mai aspettarci di vederla per caso, anche se l’universo non facesse altro che cercare di realizzarla. È in questo senso preciso che il limite si dice universale: non perché sia una legge di natura, ma perché è calcolato sulla totalità delle risorse dell’universo osservabile, e vale finché non si esce da quell’universo.

9. Uscire dall’universo: il multiverso e la fallacia inflazionistica

Il limite universale è esplicitamente condizionato all’universo osservabile. Che cosa succede se l’universo è molto più grande di quello osservabile, o se è uno tra infiniti universi causalmente separati? La legge dei grandi numeri garantisce che qualsiasi evento di probabilità positiva, dato un numero illimitato di opportunità, si verificherà non solo una volta ma infinite volte. Nel film di Tom Stoppard Rosencrantz e Guildenstern sono morti (1990) i due protagonisti assistono a 157 teste di fila, un evento di probabilità 2⁻¹⁵⁷, cioè meno di 1 su 5×10⁴⁷, vicino ma ancora sopra al limite di Borel. In un universo con infinite persone che lanciano infinite monete, un Rosencrantz da 157 teste è destinato a ripetersi; e con abbastanza lanci compariranno sequenze che, lette in Unicode, contengono l’intera opera di Shakespeare e l’intera Biblioteca del Congresso. La cosmologia inflazionistica, l’interpretazione a molti mondi della meccanica quantistica e il realismo modale estremo di David Lewis ammettono tutti universi così «sovraccarichi».

Dembski affronta la questione in The Design Revolution, dove sostiene che invocare risorse probabilistiche esterne all’universo conosciuto per salvare un’ipotesi di caso altrimenti fallimentare è un modo di gonfiare artificialmente le risorse, e lo chiama fallacia inflazionistica. La logica è semplice: non è mai sufficiente postulare risorse probabilistiche solo per sostenere un’ipotesi di caso; bisogna dimostrare in modo indipendente che quelle risorse esistono. Si consideri una lotteria di cui non sappiamo quanti biglietti siano stati venduti, e di cui ci viene solo detto che ha avuto un vincitore, con probabilità di vincita per biglietto estremamente bassa. Ne segue che sono stati venduti molti biglietti? Per niente: abbiamo diritto a quella conclusione solo se abbiamo prove indipendenti delle vendite. L’esempio di John Leslie in Universes (1989) è ancora più diretto: una freccia scagliata a caso in una foresta colpisce il signor Brown; l’ipotesi che la foresta fosse piena di persone spiegherebbe l’evento, ma resta una possibilità speculativa finché non ci sono prove indipendenti che nella foresta ci fosse qualcun altro.

Il punto di Dembski non è che le proposte di Guth, Everett, Smolin o Lewis siano false, ma che, prese come risorse probabilistiche, hanno una conseguenza autodistruttiva. Gonfiare le risorse non abbassa il limite universale sostituendolo con uno più severo: lo elimina del tutto. Con risorse illimitate, qualsiasi cosa di probabilità non nulla è certa di accadere da qualche parte. Ma allora si perde anche la capacità di riconoscere il design negli artefatti umani. Artur Rubinstein era un grande pianista, oppure un uomo fortunato che ogni volta che si sedeva al pianoforte metteva le dita sui tasti giusti? Con infiniti universi, esiste un mondo in cui il secondo è vero, e chi ascolta la Rapsodia ungherese n. 2 in quel mondo non ha modo di distinguerlo dal nostro. Nella pratica nessuno ragiona così: bastano una o due frasi copiate alla lettera per un’accusa di plagio, anche se, date risorse illimitate, esistono regioni della realtà in cui sono state scritte per caso. Chi usa la complessità specificata per eliminare il caso quando il progettista è accettabile (un plagiario, un falsario, gli alieni della panspermia diretta di Crick) e invoca risorse illimitate quando non lo è, non sta seguendo la logica ma una preferenza. Non c’è un modo coerente di discriminare tra i due usi: si può avere l’uno o l’altro, non entrambi.

Va detto con chiarezza che cosa questo argomento dimostra e che cosa no. Non dimostra che il multiverso non esista; dimostra che, in assenza di prove indipendenti, il multiverso non può essere usato come risorsa probabilistica per neutralizzare un’inferenza al design, senza neutralizzare al tempo stesso ogni inferenza al design, comprese quelle che tutti accettano. Il dibattito sul multiverso come risposta al fine-tuning, con le sue ragioni fisiche, è trattato nell’articolo sul multiverso e il principio antropico; qui interessa solo il suo rapporto con il conteggio delle risorse.

10. Obiezioni

«Il limite di 10¹⁵⁰ è arbitrario: cambiando le ipotesi si ottiene 10⁵⁰, 10¹²⁰ o 10²⁴⁰, e un numero che oscilla di 190 ordini di grandezza non è una soglia scientifica»

Questa è l’obiezione più naturale, e questo stesso modulo la rende inevitabile: abbiamo visto le risorse assolute variare da 10⁵⁰ a 10²⁴⁰ a seconda che si guardi alla biologia terrestre, ai protoni o ai bit di Lloyd. Se il numero dipende da scelte, si dirà, non è un limite ma una convenzione, e chi vuole salvare il caso sceglierà sempre il valore più alto. Va concesso che 10¹⁵⁰ non è una costante di natura, e che gli autori stessi lo chiamano un «valore predefinito», non l’unico valore possibile. Va anche concesso che l’intervallo è ampio.

La risposta è che l’obiezione confonde l’ampiezza dell’intervallo con la sua rilevanza pratica. Il limite non deve essere esatto: deve essere abbastanza generoso, e la regola del reciproco funziona proprio perché ogni stima è per eccesso. Se un evento specificato ha probabilità 10⁻³⁰⁰, il fatto che le risorse siano 10⁵⁰ o 10²⁴⁰ è irrilevante: N/M resta di sessanta ordini di grandezza sotto ½ anche nel caso peggiore. L’intervallo conta solo per gli eventi la cui probabilità cade dentro di esso, tra 10⁻⁵⁰ e 10⁻²⁴⁰, e per quelli la posizione degli autori è esplicita: si usa il valore prudente, 10¹⁵⁰, e in caso di dubbio si rinuncia all’inferenza. Il fatto che stime ricavate da fisica, cosmologia e biologia cadano tutte in una finestra, invece di disperdersi su migliaia di ordini di grandezza come farebbero se il conteggio fosse arbitrario, è semmai un’indicazione che si sta misurando qualcosa di reale. Resta vero, però, che chi presenta 10¹⁵⁰ come una cifra magica travisa il capitolo.

«Il limite è irrilevante per la biologia: la selezione naturale non è una ricerca cieca, quindi contare le operazioni dell’universo non dice nulla sulle probabilità evolutive»

Questa è l’obiezione più forte, e nella sua forma più rigorosa suona così: il limite universale dice quando una probabilità p è piccola, ma tace completamente su come si calcola p. Se p viene calcolato sotto un’ipotesi di caso sbagliata, per esempio la probabilità uniforme che una proteina si assembli in un colpo solo, il limite viene superato con facilità ma l’inferenza è vuota, perché nessuno sostiene quell’ipotesi. La selezione naturale cumulativa cambia la distribuzione, non il numero di tentativi. Elsberry e Shallit, e prima di loro molti altri, hanno insistito su questo punto.

Va concesso interamente. Il limite universale è una soglia, non una stima di probabilità, e il capitolo 4 di The Design Inference non pretende altro. Il lavoro difficile, che è quello di calcolare p sotto l’ipotesi di caso pertinente, tenendo conto della selezione e di tutti i meccanismi noti, è demandato al capitolo 7 e, in questo percorso, al modulo 8. Ciò che il limite aggiunge è qualcosa di più modesto ma non trascurabile: dice che, una volta calcolata p sotto l’ipotesi giusta, non serve discutere all’infinito su «quante volte l’evoluzione ci ha provato», perché il numero di tentativi ha un tetto che nessuna generosità può alzare oltre 10⁵⁰ in biologia e 10¹⁵⁰ nell’universo. L’obiezione, in altre parole, sposta il peso dell’argomento dal conteggio delle risorse al calcolo della probabilità, ed è esattamente dove il libro lo colloca. C’è però un’osservazione che il limite consente già ora: un meccanismo che, per rendere probabile un evento specificato, avesse bisogno di più di 10⁵⁰ tentativi sulla Terra, non è un meccanismo che si è realizzato sulla Terra.

«Le soglie assolute sono estranee alla buona statistica: un bayesiano confronta verosimiglianze e non ha bisogno di alcun limite universale»

L’obiezione, sostenuta in forme diverse da Elliott Sober e da molti statistici, dice che l’eliminazione del caso in stile fisheriano è un’inferenza monca: rifiuta un’ipotesi senza confrontarla con alternative, e per farlo deve fissare una soglia α che resta convenzionale. L’approccio della verosimiglianza confronta invece P(E|caso) con P(E|design), e non ha bisogno di sapere se una probabilità sia «piccola in assoluto». Un limite universale sarebbe dunque un residuo di una filosofia statistica superata.

Va concesso che la scelta di α è, in statistica, convenzionale, e che l’inferenza bayesiana dispone di strumenti che l’approccio fisheriano non ha. Ma due cose vanno dette. Primo: nella pratica, anche i bayesiani usano di continuo limiti locali, cioè decidono che sotto una certa probabilità un’ipotesi non merita più considerazione; la password bloccata dopo tre tentativi e la chiave a 320 bit del NRC sono limiti locali che nessun paradigma statistico contesta. Il limite universale è semplicemente il caso estremo di questa pratica, quello in cui le risorse considerate sono tutte quelle dell’universo. Secondo: il confronto di verosimiglianze richiede di assegnare una probabilità a E sotto l’ipotesi di design, cosa che a sua volta solleva problemi seri, e richiede probabilità a priori che nel caso della biologia sono al centro della disputa. Il modulo 5 di questo percorso è dedicato per intero al rapporto tra la lettura fisheriana e quella bayesiana della complessità specificata, e mostrerà che le due letture non sono in conflitto quanto sembra. Qui basta osservare che l’obiezione non tocca il conteggio delle risorse in sé: anche un bayesiano deve sapere quante opportunità ha avuto il caso, perché quel numero entra nella verosimiglianza.

«Ogni sequenza specifica di 500 lanci ha probabilità 2⁻⁵⁰⁰, sotto il limite universale; se il limite fosse preso sul serio, nulla di ciò che accade potrebbe accadere»

L’obiezione, nella sua forma più semplice, è che eventi con probabilità inferiore a 10⁻¹⁵⁰ si verificano di continuo: qualsiasi sequenza di 500 lanci di moneta, qualsiasi mano di bridge ripetuta poche decine di volte, qualsiasi configurazione delle molecole in una stanza. Un limite che dichiara impossibili eventi che osserviamo ogni giorno non può essere corretto.

Va concesso che l’obiezione è vera per gli eventi non specificati, ed è per questo che il limite universale non è mai stato proposto per essi. La legge della piccola probabilità, nella formulazione del modulo 1, riguarda gli eventi specificati di piccola probabilità; è la congiunzione delle due condizioni, non la sola improbabilità, a escludere il caso. Il modulo 2 ha mostrato perché: una sequenza qualsiasi di 500 lanci ha una descrizione minima lunga quanto la sequenza stessa, e la regione di rifiuto che induce contiene praticamente tutto lo spazio; 500 teste di fila, invece, hanno una descrizione di poche parole e inducono una regione di rifiuto minuscola. La sezione 6 di questo modulo aggiunge il secondo tassello: se si contassero come risorse tutti i modi di descrivere a posteriori un evento, si cadrebbe nella sovraesponenzialità e il conteggio perderebbe ogni valore. L’obiezione, dunque, non colpisce il limite ma una sua caricatura, quella che dimentica la specificazione. Resta vero, e va detto, che l’onere di mostrare che la specificazione è genuina, e non costruita dopo il fatto, grava per intero su chi trae l’inferenza.

I limiti dell’argomento di questo modulo

Ciò che questo modulo stabilisce è circoscritto. Ha mostrato che il numero di opportunità che un evento ha di verificarsi nell’universo osservabile è finito, che può essere stimato per eccesso a partire da vincoli fisici e biologici, e che tali stime, pur variando entro un intervallo, forniscono una soglia sotto la quale un evento specificato non può ragionevolmente essere attribuito al caso. Non ha mostrato che alcun evento biologico o cosmologico cada sotto quella soglia: il calcolo delle probabilità sotto le ipotesi di caso pertinenti è materia dei moduli 7 e 8, e lì stanno le difficoltà più serie. Non ha mostrato nemmeno che l’eliminazione del caso implichi il design: quel passaggio richiede la struttura deduttiva del modulo 4 e il confronto con le ipotesi di necessità e con le letture bayesiane del modulo 5. Il limite universale è condizionato all’universo osservabile e alla fisica attuale; se una delle due cambiasse in modo radicale, il numero andrebbe ricalcolato, anche se la logica del conteggio resterebbe la stessa. Infine, la cifra 10¹⁵⁰ non va difesa come se fosse sacra: è una scelta prudente dentro un intervallo, e chi la usa come slogan la indebolisce. L’argomento di questo modulo è negativo: dice quando il caso è in difficoltà, non chi o che cosa lo sostituisce.

Concetti chiave

1. Le risorse probabilistiche sono il numero di opportunità che un evento ha di verificarsi. La probabilità «presentata» di un singolo tentativo non è mai la probabilità reale; quest’ultima si ottiene solo dopo aver contato tutte le opportunità pertinenti, che possono essere indipendenti o meno.
2. Borel fissò un limite (1 su 10⁵⁰) ma non chiuse il regresso. Non distinse il verificarsi dall’osservazione, ignorò il contesto e non spiegò come il limite dipenda dal numero di opportunità; ogni probabilità piccola ne evoca un’altra.
3. Le risorse relative riflettono la tecnologia, quelle assolute la fisica. Un miliardo di supercomputer per dieci anni dà circa 10³⁶ operazioni; i protoni della Terra alla velocità della luce per l’età dell’universo ne danno 10⁹², la base della chiave a 320 bit del NRC.
4. Le risorse assolute variano da 10⁵⁰ a 10²⁴⁰ a seconda dei vincoli scelti. Biomassa terrestre e replicazioni biologiche danno 10⁵⁰; i protoni dell’universo 10¹²⁰; il tempo di Planck e tutte le particelle 10¹⁵⁰; le operazioni-bit di Lloyd 10²⁴⁰.
5. Le risorse non devono mai diventare sovraesponenziali. Si contano solo opportunità non sovrapposte e solo possibilità realizzabili, non mere possibilità concepibili: l’errore di Landman consiste nel confondere le due cose.
6. Meno risorse è meglio. Alzare l’asticella moltiplica i falsi negativi; tuttavia gli autori adottano per prudenza 10¹⁵⁰ (498 bit) come valore predefinito, cento ordini di grandezza sopra ciò che la biologia richiederebbe.
7. Il limite di probabilità è il reciproco delle risorse: 1/M. Poiché M è sempre sovrastimato, il numero reale di opportunità N è di ordini di grandezza inferiore, e la disuguaglianza dell’unione garantisce che N/M sia molto minore di ½ senza assumere indipendenza.
8. Il multiverso non può essere usato come risorsa probabilistica senza prove indipendenti. Gonfiare le risorse non abbassa il limite: lo elimina, e con esso la possibilità di riconoscere qualsiasi design, anche umano.

Per approfondire

• Complessità specificata: come riconoscere matematicamente il design — l’introduzione al filtro esplicativo e alla soglia dei 500 bit, che questo modulo presuppone e approfondisce.
• Tempo profondo e caso: perché «miliardi di anni» non bastano — l’applicazione intuitiva del conteggio delle risorse al problema dell’origine della vita.
• Il multiverso e il principio antropico — le ragioni fisiche del multiverso e le risposte, complemento alla sezione 9.
• Le condizioni iniziali del Big Bang: entropia, piattezza e il calcolo di Penrose — il sovraesponenziale 10¹⁰¹²³ citato nella sezione 6.
• Ordine, caso e informazione — le tre categorie concettuali che il conteggio delle risorse presuppone.
• L’enigma dell’origine dell’informazione biologica: perché il caso non basta — dove il limite universale viene messo a confronto con lo spazio delle sequenze biologiche.

Riferimenti

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