Misurare il significato: Shannon, Kolmogorov e la complessità algoritmica specificata

Percorso: Matematica del Design
Modulo 6

Prerequisiti:
Modulo 2 – La specificazione
Il DNA un linguaggio scritto dentro di noi
Guida alla lettura
Disclaimer

Introduzione: due dischi identici e una domanda che la teoria dell’informazione non sa porre

Un disco Blu-ray contiene circa 50 gigabyte, cioè 400 miliardi di bit. Immaginiamo due dischi: sul primo è registrato il film Braveheart, sul secondo una sequenza di bit generata lanciando una moneta 400 miliardi di volte. Per la teoria dell’informazione di Claude Shannon i due dischi hanno la stessa capacità e, se i bit del film sono compressi a dovere, trasportano all’incirca la stessa quantità di informazione. Per la teoria algoritmica dell’informazione di Kolmogorov, Chaitin e Solomonoff il disco di rumore è, se possibile, ancora più «ricco»: è incomprimibile, e dunque la sua complessità è massima. Eppure chiunque, davanti ai due dischi, direbbe senza esitare che uno dei due significa qualcosa e l’altro no. Le due misure di informazione più celebri del Novecento sono cieche esattamente alla proprietà che ci interessa.

Questo modulo studia il tentativo di Winston Ewert, William Dembski e Robert Marks di colmare quella lacuna con una misura che chiamano complessità algoritmica specificata (in inglese algorithmic specified complexity, ASC). L’idea è semplice da enunciare e sorprendentemente laboriosa da mettere in pratica: un oggetto ha tanto più significato quanto più è improbabile e, allo stesso tempo, quanto più brevemente lo si può descrivere sfruttando un contesto noto. La differenza fra queste due quantità, misurate entrambe in bit, è l’ASC. Il modulo 2 aveva già introdotto la lunghezza di descrizione come formalizzazione della specificazione; qui la incontriamo nella sua forma più rigorosa, quella della complessità di Kolmogorov condizionale, e la vediamo all’opera su tre casi concreti che il libro Introduction to Evolutionary Informatics (2017) calcola per esteso: le mani di poker, i fiocchi di neve e gli oggetti del Game of Life di Conway.

Una precisazione di metodo: su questo sito il disegno intelligente è presentato come deduzione logica e filosofica a partire da dati empirici, non come teoria scientifica già consolidata (si veda la Guida alla lettura). In questo modulo non si compie alcuna inferenza al progetto su oggetti biologici: si costruisce e si mette alla prova uno strumento di misura, e si cerca di capire con precisione che cosa lo strumento misura e che cosa no. L’applicazione alla biologia è rinviata al modulo 8; il legame con la conservazione dell’informazione è l’oggetto del modulo 7.

1. Shannon: l’informazione come sorpresa

Nel suo articolo del 1948, in cui la parola «bit» compare per la prima volta come contrazione di binary digit, Shannon pose due requisiti a qualunque misura sensata di informazione. Primo: quanto più un evento è improbabile, tanta più informazione porta con sé. Sapere che domani il sole sorgerà non ci dice quasi nulla; sapere che domani esploderà ci dice moltissimo. Secondo: l’informazione di due eventi indipendenti deve essere la somma delle informazioni dei due eventi presi separatamente. Esiste una sola funzione della probabilità che soddisfa entrambe le condizioni: I = −log p. Se il logaritmo è in base 2, I si misura in bit; il libro di Marks, Dembski ed Ewert chiama questa quantità autoinformazione o, quando la probabilità è quella di centrare un bersaglio senza alcun aiuto, informazione endogena (nozione che il modulo 7 riprenderà).

La conversione fra probabilità e bit è la stessa che il percorso ha già usato nel modulo 3: dieci bit corrispondono a circa una possibilità su mille, venti a una su un milione, quaranta a una su un trilione. Una sequenza di dieci lanci di una moneta equa, per esempio, ha probabilità 1/2¹⁰ = 1/1024 e porta quindi esattamente 10 bit: non a caso, scritta con 1 per testa e 0 per croce, occupa esattamente dieci cifre binarie. Il gioco delle venti domande illustra la stessa aritmetica dal lato opposto: se un numero è nascosto fra 0 e 15, la probabilità di indovinarlo al primo colpo è 1/16, cioè 4 bit, e 4 è precisamente il numero minimo di domande «sì/no» necessarie per isolarlo dimezzando a ogni passo l’intervallo. Le risposte, lette come 0 e 1, sono la scrittura binaria del numero cercato.

Shannon stesso, come ricordano gli autori di Evolutionary Informatics, non pretese mai che la sua fosse l’ultima parola sull’informazione: la sua teoria era stata concepita per il problema della comunicazione, per misurare quanto un canale può trasportare e quanto un messaggio può essere compresso. Il punto è che la misura di Shannon dipende solo dalla distribuzione di probabilità, non da ciò che i simboli dicono. Un Blu-ray di rumore casuale ha lo stesso numero di bit di un Blu-ray con un film; il Monte Rushmore e la «faccia» fotografata su Marte dalla sonda Viking nel 1976 non si distinguono con statistiche sui pixel. È la stessa cecità del ragionamento probabilistico ordinario messa in luce nel modulo 2 con la storia di Chaitin: cento «1» di fila e cento lanci genuini hanno esattamente la stessa probabilità, 1 su 2¹⁰⁰, e quindi esattamente la stessa autoinformazione.

2. Kolmogorov, Chaitin, Solomonoff: l’informazione come lunghezza del programma più breve

Negli anni Sessanta tre studiosi, in modo indipendente e quasi contemporaneo, proposero una misura che non parte dalla probabilità ma dalla struttura: Ray Solomonoff (1964), Andrei Kolmogorov (1965) e Gregory Chaitin (1966), quest’ultimo ancora adolescente. La complessità di Kolmogorov (che il libro chiama, con le tre iniziali, complessità KCS) di una stringa binaria X è la lunghezza, in bit, del più breve programma per computer che stampa X e poi si arresta. Chaitin chiama «eleganti» tali programmi minimi. Chi ha familiarità con i file zip o con le immagini PNG conosce l’idea nella sua forma pratica: la complessità KCS è, in sostanza, la dimensione della compressione senza perdita più spinta possibile.

Alcuni esempi fissano le idee. La stringa 0101…01 di duemila bit ha complessità bassissima: «ripeti 01 mille volte e fermati». Una stringa di B bit ottenuta lanciando una moneta ha, quasi certamente, complessità vicina a B: non c’è ridondanza da sfruttare, e il programma più breve è «stampa questi B bit». Esistono però stringhe ingannevoli, che sembrano casuali e non lo sono. La costante di Champernowne, 0 1 00 01 10 11 000 001 010 011 100 101 110 111 0000…, supera molti test statistici di casualità ed è però generata da un programma di poche righe: «per n da 1 a N, scrivi in ordine tutti i numeri binari di n cifre». Lo stesso vale per le cifre binarie di π, che paiono rumore e sono l’output di un ciclo brevissimo. Il modulo 2 ha già usato Champernowne per mostrare che una descrizione un po’ più lunga di «tutte teste» è comunque una specificazione; qui la stessa sequenza serve a fissare un’altra lezione: la casualità in senso statistico e la casualità in senso algoritmico non coincidono.

Tre proprietà che serviranno più avanti

La prima proprietà è l’invarianza. La lunghezza del programma più breve dipende dal linguaggio: il programma minimo in C++ non ha la stessa lunghezza del programma minimo in Python. Ma esiste sempre un traduttore da un linguaggio all’altro, di lunghezza c fissa e indipendente dalla stringa; quindi le due complessità differiscono al più di c bit. Per stringhe lunghe la costante è trascurabile, e la complessità KCS diventa un concetto universale «a meno di una costante additiva». Il modulo 2 aveva invocato esattamente questo teorema per sostenere che le lunghezze di descrizione assegnate da agenti che parlano lingue diverse sono commensurabili; The Design Inference lo dice esplicitamente: poiché complessità di Kolmogorov e lunghezza di descrizione sono concetti paralleli, la stessa invarianza vale per i linguaggi descrittivi binari, privi di prefissi e Turing-completi.

La seconda proprietà riguarda i programmi privi di prefissi. Si richiede che nessun programma valido sia l’inizio di un altro programma valido: la logica del linguaggio deve dire da sola quando la descrizione è finita, senza bisogno di spazi o segnali esterni. Il costo è qualche bit in più; il vantaggio è che i programmi si possono disporre sulle foglie di un albero binario e, poiché ogni foglia di profondità l ha probabilità 1/2^l di essere raggiunta lanciando una moneta a ogni bivio, la somma di 2^−l su tutti i programmi non può superare 1. È la disuguaglianza di Kraft, e sarà l’ingrediente decisivo del teorema della sezione 4.

La terza proprietà è la più scomoda: la complessità KCS non è calcolabile. Non esiste alcun programma che, ricevuta una stringa qualunque, ne restituisca la complessità esatta; la dimostrazione, per assurdo, è una variante del paradosso di Berry ed è riportata in nota nel capitolo 2 di Evolutionary Informatics. Quello che si può fare è limitare la complessità dall’alto: se abbiamo compresso senza perdita un miliardo di bit in mille, sappiamo che la complessità KCS è al massimo mille. Il libro indica con una tilde, K̃, questo limite osservato, e la relazione K ≤ K̃ vale sempre. Tutte le misure di ASC che vedremo sono in realtà limiti inferiori, e questo fatto va tenuto presente fino alla sezione delle obiezioni.

3. Perché nessuna delle due misura il significato

Le due misure sono correlate, condividono l’unità (il bit) e hanno basi diverse: Shannon parte dalla probabilità, KCS dalla struttura della stringa esistente. Hanno però in comune un limite, che il capitolo 2 del libro riassume in una frase: né il modello KCS né quello di Shannon dicono se il contenuto di un Blu-ray abbia un significato o sia stato progettato. Vale la pena capire perché il limite è strutturale e non un difetto rimediabile con un po’ di cura.

Nel caso di Shannon la ragione è ovvia: la misura vede solo la distribuzione, e sotto una distribuzione uniforme tutte le stringhe della stessa lunghezza sono equivalenti. Nel caso KCS la ragione è più sottile e più istruttiva. Una stringa casuale è incomprimibile, quindi ha complessità massima; un romanzo europeo compresso al massimo e una sequenza di caratteri casuali di pari lunghezza compressa al massimo occupano lo stesso spazio. Se prendessimo la complessità KCS come misura di significato, dovremmo concludere che il rumore è l’oggetto più significativo che esista. Ma se prendessimo la comprimibilità (cioè la bassa complessità) come misura di significato, dovremmo concludere che una stringa di un milione di «1» è più significativa dell’Amleto. Il significato non sta né in cima né in fondo alla scala della complessità di Kolmogorov: sta da un’altra parte.

Il lettore che ha seguito l’articolo Il DNA un linguaggio scritto dentro di noi riconoscerà la questione: una sequenza genica che codifica una proteina funzionale, una sequenza mescolata a caso e una sequenza fatta di un solo nucleotide ripetuto hanno rispettivamente complessità KCS alta, alta e bassa, e capacità di Shannon uguali nei primi due casi. Nessuna delle due misure isola il primo caso. Questa osservazione non è patrimonio esclusivo dei teorici del design. Il capitolo 2 di Evolutionary Informatics elenca una serie di proposte, tutte nate nella letteratura ordinaria, per catturare ciò che Shannon e Kolmogorov lasciano fuori: la sofisticazione di Koppel e Atlan, la teoria dell’informazione pragmatica di Weinberger, l’informazione funzionale di Durston, Chiu, Abel e Trevors, la complessità LMC di López-Ruiz, Mancini e Calbet, le statistiche sufficienti di Kolmogorov descritte da Cover e Thomas. Il fatto che il problema abbia generato una piccola industria di misure è la miglior prova che il problema è reale.

La proposta di Ewert, Dembski e Marks appartiene a questa famiglia e ha un tratto distintivo: lega il significato al contesto. Un’immagine di un tramonto ha significato perché chi la guarda la collega ad altri tramonti già visti; una fotografia di gruppo ha più significato per chi conosce le persone ritratte che per chi non le conosce; la celebre immagine di macchie grigie che, dopo un lungo sguardo, si rivela essere il muso di una mucca acquista significato nell’istante in cui la mente trova il contesto giusto, e da quel momento non lo perde più. Il grado di significato cresce con il contesto in cui l’informazione è interpretata. La domanda diventa allora: come si misura il contributo del contesto?

4. Il contesto come risorsa: la complessità KCS condizionale

La risposta tecnica è la complessità KCS condizionale. Dato un contesto C, si definisce K(Y|C) come la lunghezza del più breve programma che produce Y potendo usare C. La notazione si legge «complessità KCS di Y dato il contesto C». Il punto cruciale della definizione è che la lunghezza del contesto non entra nel conteggio: C è una biblioteca di sottoprogrammi gratuiti, un’informazione di sfondo che si presume già posseduta. Ne segue immediatamente che K(Y|C) ≤ K(Y): se il contesto non aiuta, basta ignorarlo e si ricade nella complessità ordinaria. Se Y è la Bibbia di Re Giacomo e C è la tabella delle medie di battuta di una squadra di baseball giovanile, K(Y|C) sarà praticamente uguale a K(Y).

Il capitolo 7 del libro illustra la definizione con una sequenza di contesti sempre più utili applicati a una stessa stringa: cinque milioni di caratteri ASCII estesi, ciascuno codificato con 8 bit, per un totale di 40 milioni di bit di informazione intrinseca. Con il solo codice ASCII come contesto, una stringa casuale è incomprimibile: K̃ ≈ 40 milioni di bit. Se il contesto include la frequenza di occorrenza delle lettere (l’idea del codice Morse, che assegna un solo segno alla «e» e quattro alla «z», o dei codici di Huffman), la descrizione si accorcia. Se il contesto è un dizionario di 2¹⁴ = 16.384 parole, ogni parola si indicizza con 14 bit e un documento di un milione di parole costa 14 milioni di bit, poco più di un terzo. Se infine il contesto è una biblioteca che contiene già il testo insieme ad altri 1.027 libri, basta indicare il numero del volume: 10 bit, perché 2¹⁰ = 1.024 ≈ 1.028. Il libro ha cura di osservare, in nota, che un dizionario troppo grande smette di aiutare: con 2⁴⁰ parole servirebbero 40 bit per parola e si tornerebbe ai 40 milioni di bit di partenza. Il contesto è una risorsa, non una bacchetta magica.

Il ponte con la lunghezza di descrizione del modulo 2

Il lettore che viene dal modulo 2 riconoscerà in K(Y|C) la versione rigorosa della lunghezza minima di descrizione D(E) che The Design Inference usa per formalizzare la specificazione. Dembski ed Ewert lo dicono espressamente: la loro definizione è «molto simile a quella della complessità di Kolmogorov, tranne che per gli eventi in Ω e non per le stringhe binarie», e richiede che il linguaggio descrittivo sia binario, privo di prefissi e Turing-completo, cioè esattamente le proprietà che la teoria algoritmica dell’informazione impone ai programmi. Anche la versione condizionale ha il suo corrispettivo: nel capitolo 6 del Design Inference compare una lunghezza di descrizione condizionale «data la conoscenza di base B», introdotta per rispondere alla domanda se un americano che conosce i presidenti possa legittimamente dare al Monte Rushmore una descrizione più breve di quella che darebbe un alieno. La risposta degli autori è che sì, può, purché la conoscenza di base sia probabilisticamente indipendente dall’evento: in quel caso l’uso di B per descrivere E non diminuisce la complessità specificata, e la commensurabilità fra linguaggi resta sostanzialmente intatta.

Questa condizione di indipendenza è l’anello che tiene insieme tutto il percorso, e conviene fissarla ora perché la ritroveremo nelle obiezioni. L’esempio che The Design Inference usa per illustrarla è quello del telefono caduto: la rete di crepe sullo schermo è altamente improbabile, e adesso ha per voi una descrizione brevissima, «le crepe del mio telefono». Ma quella descrizione è breve solo perché il vostro linguaggio è stato modificato dall’evento stesso. Il contesto che accorcia la descrizione deve essere disponibile indipendentemente dall’evento che si sta valutando; altrimenti si sta misurando la propria memoria, non il significato dell’oggetto.

5. La definizione di ASC e il teorema di rarità

Abbiamo ora i due ingredienti. Da un lato l’informazione intrinseca I(Y) = −log₂ p(Y), la difficoltà di ottenere Y per caso sotto un modello probabilistico p: misura l’improbabilità, ma ignora il significato. Dall’altro la complessità condizionale K(Y|C), la brevità con cui Y si lascia descrivere sfruttando un contesto: misura la specificità, ma da sola non dice quanto l’oggetto sia raro. La complessità algoritmica specificata è la loro differenza:

A(Y, C, p) = I(Y) − K(Y|C)

o, in notazione abbreviata, A = I − K(Y|C). L’ASC è grande quando l’oggetto è improbabile e, contemporaneamente, il contesto permette di descriverlo in poco spazio; è piccola o negativa quando l’oggetto è probabile, oppure quando è improbabile ma il contesto non aiuta a comprimerlo (il caso del rumore). Poiché K non è calcolabile e si dispone solo del limite osservato K̃ ≥ K, si ha A = I − K(Y|C) ≥ I − K̃(Y|C): ogni valore di ASC che si calcola in pratica è un limite inferiore del valore vero. Un compressore migliore può solo alzare la stima, mai abbassarla.

Chi ha seguito il modulo 2 riconoscerà la struttura. The Design Inference definisce la complessità specificata algoritmica come SC(E|H) = I(E|H) − D(E), improbabilità sotto l’ipotesi H meno lunghezza minima di descrizione; e la Figura 6.2 del libro mostra come questa metrica unificata renda conto di un compromesso che le due grandezze separate non catturano. I primi venti bit della sequenza di Champernowne hanno probabilità circa 1 su un milione, come venti teste di fila, ma una descrizione più lunga di «tutte teste»: siamo meno disposti a rifiutare il caso. I primi cento bit hanno la stessa descrizione, che però ora è compensata da una probabilità di 1 su 2¹⁰⁰: il caso si rifiuta senza esitazione. Una descrizione più lunga può sempre essere compensata da una probabilità sufficientemente piccola, e la differenza in bit registra il bilancio. L’ASC di Evolutionary Informatics è la stessa idea con la lunghezza di descrizione sostituita dalla complessità di Kolmogorov condizionale, cioè con la specificazione ancorata a un contesto esplicito.

Un ASC elevato è raro: la dimostrazione

Il risultato che dà all’ASC il suo valore inferenziale è una disuguaglianza. Per ogni soglia α in bit,

Pr[A ≥ α] ≤ 2^−α

cioè la probabilità che il caso produca più di 10 bit di ASC è inferiore a uno su mille, e quella di produrne più di 40 è inferiore a uno su un trilione. La dimostrazione, riportata nel libro, occupa poche righe e merita di essere seguita, perché mostra da dove viene la garanzia. La condizione A ≥ α equivale a I(Y) ≥ K(Y|C) + α, cioè a p(Y) ≤ 2^{−K(Y|C)−α}. La probabilità dell’evento è quindi la somma di p(Y) su tutte le Y che soddisfano questa condizione, e ciascun addendo è al più 2^−α · 2^−K(Y|C). Raccogliendo il fattore comune, Pr[A ≥ α] ≤ 2^−α · Σ 2^−K(Y|C). Ma i programmi minimi sono stringhe di un codice privo di prefissi, e la disuguaglianza di Kraft dice che la somma di 2^−K su tali stringhe non supera 1. Il risultato segue.

Tre cose vanno notate. Primo, il teorema non dipende dal contesto scelto: qualunque sia C, purché fissato prima di osservare Y, la probabilità di un ASC alto resta limitata. Un contesto ricco non gonfia le probabilità; al più consente di riconoscere una specificità che un contesto povero non avrebbe visto. Secondo, il teorema dipende invece dal modello probabilistico p: la disuguaglianza dice che sotto p è raro ottenere molti bit di ASC, e nulla di più. Terzo, la disuguaglianza vale per la A vera, e a maggior ragione per la stima A ≥ I − K̃, che è più piccola. È la stessa logica delle regioni di rifiuto indotte da una specificazione (moduli 2 e 4): l’insieme di tutti gli eventi con ASC almeno α è una regione di rifiuto di probabilità al più 2^−α, e il limite universale di 500 bit del modulo 3 si applica a essa senza modifiche.

6. Primo banco di prova: le mani di poker

Il primo esempio numerico del libro è volutamente familiare. Con un mazzo di 52 carte esistono C(52,5) = 52!/(5!·47!) = 2.598.960 mani di cinque carte (la cifra stampata nell’edizione italiana contiene un refuso; il calcolo che segue usa il valore corretto). Se le carte sono distribuite onestamente, ogni mano ha la stessa probabilità, 1 su 2.598.960, e la stessa informazione intrinseca: I = log₂ 2.598.960 ≈ 21,3 bit. Fin qui, Shannon: una scala reale e una mano qualunque sono ugualmente improbabili.

Il contesto è il gioco del poker, che raggruppa le mani in dieci categorie: scala reale, scala colore, poker, full, colore, scala, tris, doppia coppia, coppia, carta alta. Specificare una categoria costa log₂ 10 ≈ 3,3 bit. Dentro la categoria occorre poi identificare la mano particolare. Di scale reali ne esistono solo quattro, una per seme: bastano 2 bit. Quindi K̃(X|C) = 3,3 + 2 = 5,3 bit e ASC ≥ 21,3 − 5,3 = 16 bit. Di scale colore (escluse le reali) ne esistono 36: identificare quella giusta costa log₂ 36 ≈ 5,2 bit, per un totale di 3,3 + 5,2 = 8,5 bit e un’ASC di 21,3 − 8,5 ≈ 12,8 bit. Proseguendo con le frequenze note: 624 poker danno 3,3 + 9,3 = 12,6 bit di descrizione e 8,7 bit di ASC; 3.744 full danno 6,1 bit; 5.108 colori 5,7; 10.200 scale 4,7; 54.912 tris 2,2; 123.552 doppie coppie circa 1 bit. Per le 1.098.240 coppie e le 1.302.540 mani a carta alta, la descrizione (rispettivamente 23,4 e 23,6 bit) supera l’informazione intrinseca: l’ASC è negativa, e il libro la registra come zero. Rifacendo i conti, tutti i valori della Tabella 7.2 tornano.

Il risultato è quello atteso, ed è proprio la sua ovvietà a renderlo istruttivo: più la mano è forte, più alta è la sua ASC. Ma si osservi da dove viene la graduatoria. Non dalla probabilità, che è identica per tutte le mani; e neppure dalla comprimibilità in assoluto, perché una descrizione carta per carta costa lo stesso per tutte. Viene dal fatto che il contesto del poker rende alcune mani descrivibili in un soffio («scala reale di cuori») e altre no. È una specificazione nel senso preciso del modulo 2, con il vantaggio che qui la lunghezza di descrizione è contata bit per bit dentro un codice esplicito. Si noti anche l’onestà dell’esempio: 16 bit sono molto meno dei 500 bit del limite universale. L’ASC dice che una scala reale merita un secondo sguardo, non che sia stata truccata.

7. I fiocchi di neve: improbabile non vuol dire significativo

Il secondo esempio serve a separare due nozioni che il linguaggio comune tiene unite. «Non esistono due fiocchi di neve uguali» è una frase proverbiale; nel 1988 Nancy Knight, del National Center for Atmospheric Research, fotografò due cristalli che sembravano identici, e il fisico Kenneth Libbrecht del Caltech osservò che a livello atomico erano sicuramente diversi. Un fiocco di un terzo di milligrammo contiene circa 10¹⁹ molecole d’acqua, oltre al granello di polvere su cui si è formato; la combinatoria delle disposizioni possibili è astronomica, e le stime del numero di forme distinguibili variano di molti ordini di grandezza (il libro cita 10¹⁸ forme visivamente indistinguibili e altre stime intorno a 10³⁶ tipi). Per fare i conti, gli autori assumono 10¹⁰⁰⁰ tipi di fiocco, tutti equiprobabili. Il numero preciso non conta: conta il ragionamento.

Un fiocco. Se i tipi sono 10¹⁰⁰⁰, l’informazione intrinseca è I = log₂ 10¹⁰⁰⁰ = 1000 · log₂ 10 ≈ 3322 bit (il calcolo torna: log₂ 10 ≈ 3,3219). Il contesto è un catalogo, astronomicamente spesso, in cui ogni tipo è indicizzato da un numero di 3322 bit. Se tutti i fiocchi sono equiprobabili, il meglio che il catalogo consente di fare è stampare l’indice: K̃(Y|C) = 3322 bit. Dunque A ≥ 3322 − 3322 = 0. Il fiocco è enormemente improbabile e ha ASC nulla. In nota il libro osserva che, sotto queste ipotesi, la probabilità di un singolo fiocco è 10⁻¹⁰⁰⁰ e la probabilità di osservare un fiocco di probabilità ≤ 10⁻¹⁰⁰⁰ è 1: è la traduzione formale della frase «gli eventi improbabili accadono continuamente», che il percorso ha incontrato fin dal modulo 1.

Due fiocchi diversi. Per la proprietà di additività di Shannon, l’informazione intrinseca raddoppia: I₂ = 2 · 3322 = 6644 bit (in nota il libro verifica che il numero di coppie ordinate distinte è circa (10¹⁰⁰⁰)², il cui logaritmo è appunto 6644). Ma anche la descrizione raddoppia, perché non c’è modo di comprimere due indici indipendenti: K̃₂ = 6644 bit. Di nuovo A₂ ≥ 0, e lo stesso vale per dieci o mille fiocchi non identici. Accumulare improbabilità non produce significato.

Due fiocchi identici. L’informazione intrinseca è la stessa, 6644 bit: sotto il modello uniforme una coppia di fiocchi uguali non è più improbabile di una coppia qualunque. Ma la descrizione si dimezza: basta scrivere i 3322 bit del primo fiocco seguiti da un comando REPEAT, per un costo di 3322 bit più pochi bit per il comando. Quindi A_stesso ≥ 6644 − 3322 = 3322 bit, e la probabilità che il caso produca tanti bit di ASC è, per il teorema della sezione 5, al più 2⁻³³²², un numero che per ogni scopo pratico è zero. Il libro commenta: due fiocchi identici hanno un’enorme quantità di complessità specificata.

Questo esempio è il più importante del modulo, perché mostra nel modo più nitido che cosa l’ASC misura e che cosa non misura. La ripetizione è il tipo più elementare di specificazione: non richiede alcun contesto sofisticato, solo la capacità di dire «come prima». Ed è la ripetizione, non l’improbabilità, a far scattare la misura. Ma l’esempio contiene anche, in una frase apparentemente marginale, il seme dell’obiezione più seria che il modulo dovrà affrontare: il libro stesso ricorda che la forma di un fiocco dipende da temperatura, umidità e condizioni ambientali, e che due fiocchi formatisi nello stesso luogo e nello stesso momento hanno più probabilità di essere identici. Se è così, il modello uniforme su 10¹⁰⁰⁰ tipi è sbagliato per i due cristalli di Knight, e i 3322 bit non dicono che qualcuno li ha disegnati: dicono che l’ipotesi di caso uniforme va abbandonata a favore di un’ipotesi fisica. È l’argomento negativo nella sua forma pura, e torneremo a esso.

8. Il Game of Life: catalogare per comprimere

Il terzo esempio è il più elaborato e occupa la parte finale del capitolo 7, ripresa da un articolo dei tre autori apparso su IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems. Il Game of Life, inventato da John Conway e reso celebre dalla rubrica di Martin Gardner su Scientific American nell’ottobre 1970, è un automa cellulare su una griglia di celle vive o morte, governato da quattro regole: una cella viva con meno di due vicine vive muore (sottopopolazione); una con più di tre muore (sovrappopolazione); una cella morta con esattamente tre vicine vive nasce (riproduzione); una cella viva con due o tre vicine sopravvive. Da regole così povere emergono comportamenti sorprendenti, che gli appassionati hanno catalogato con nomi propri: le nature morte (still life) come il blocco e l’alveare, che non cambiano; gli oscillatori come il lampeggiatore (blinker) e il rospo (toad), che tornano alla configurazione iniziale dopo un certo numero di passi; le astronavi come l’aliante (glider), che si ripetono traslate; e poi costruzioni composite come il cannone di alianti (glider gun), che emette un aliante a intervalli regolari, e il generatore di tipo puffer, che lasciando la sua scia deposita cannoni di alianti. Il Game of Life ha anche il suo «brodo primordiale»: le configurazioni che sopravvivono partendo da griglie riempite a caso, dette ash, di cui esistono cataloghi ordinati per frequenza; e, come ci si aspetta, il libro osserva che gli oggetti nati per caso hanno ASC bassa.

Costruire il contesto

Il contesto, qui, è il catalogo che i giocatori hanno costruito in cinquant’anni senza pensare alla teoria dell’informazione. Gli autori lo formalizzano con una notazione minima. Se ⊕ indica un passo temporale, una natura morta soddisfa Y = ⊕Y, un oscillatore di periodo due Y = ⊕²Y (escludendo per convenzione le nature morte, che soddisferebbero anche questa), e in generale Y = ⊕ⁱY indica un oggetto che si ripete in i passi e non prima. Un aliante si ripete traslato: X↓→ = ⊕⁴X, cioè dopo quattro passi la configurazione è la stessa spostata di una cella in basso e una a destra. Per rendere il catalogo un codice vero e proprio occorre un ordine lessicografico all’interno di ciascuna classe. Le regole scelte sono: prima per numero di celle vive; a parità, per area del rettangolo che le racchiude (16 per il blocco, 30 per l’alveare); poi per larghezza; infine leggendo il rettangolo riga per riga come un numero binario, con 0 per cella viva e 1 per cella morta (il blocco, in un riquadro 4×4, dà 1111 1001 1001 1111 in binario, cioè 63.903). Con questo ordinamento, «Y = ⊕¹Y, #11» identifica in modo univoco un oggetto della lista delle nature morte senza elencarne le celle, e «Y = ⊕²Y, #1» è il lampeggiatore, «#2» il rospo. Gli autori sono espliciti sul fatto che il catalogo si può sempre migliorare («posso fare una caratterizzazione più compatta!») e che ogni miglioramento alza il limite inferiore dell’ASC.

I conti sul lampeggiatore

Per misurare in bit servono due codifiche. Per l’informazione intrinseca I(X), gli autori rappresentano un oggetto come un rettangolo di larghezza w e altezza h con w×h bit di contenuto, precedati dalla codifica autodelimitante dei due interi, con l(n) bit per l’intero n: I(X) = l(w) + l(h) + w×h. Per il lampeggiatore, che nel suo riquadro occupa w = h = 5 e per cui l(5) = 5, si ottiene I_BLINKER = 5 + 5 + 25 = 35 bit. Per la complessità condizionale, ogni simbolo del formalismo (⊕, =, #, le frecce, le variabili) riceve un codice a cinque bit, dato che 2⁵ = 32 basta per tutti; gli interi usano la stessa codifica; e la sequenza 11111 chiude la descrizione, rendendo il codice privo di prefissi. Contando i simboli dell’espressione «Y = ⊕²Y, #1», il libro arriva a K̃_BLINKER(X|C) = 8×6 + 3 + 2 = 53 bit e quindi a

ASC_BLINKER ≥ 35 − 53 = −18 bit.

Una nota di verifica aritmetica è dovuta: l’edizione italiana stampa il totale intermedio come 42, ma 8×6 + 3 + 2 fa 53, ed è 53, non 42, il valore coerente con la differenza −18 riportata subito dopo. Il risultato negativo non è un’anomalia: significa che, con questo codice, descrivere il lampeggiatore tramite il catalogo costa più che elencarne le celle. Il libro lo commenta con un dato empirico: il lampeggiatore è l’oggetto più comune fra le configurazioni ash, più comune perfino del blocco. Un oggetto che la dinamica casuale del gioco produce di continuo non deve avere ASC alta, e infatti non ce l’ha.

La Figura 7.11 estende il calcolo agli oscillatori più semplici di periodo da 1 a 9. Il limite di ASC cresce approssimativamente con il periodo, con l’eccezione della «figura otto» di periodo 8, che si ferma a 7 bit; gli autori avvertono che i riquadri di delimitazione usati nella figura differiscono da quelli dell’esempio nel testo, e i limiti non sono direttamente confrontabili. Per gli oggetti compositi il catalogo funziona per riferimento: il cannone di alianti si descrive come collisione di alianti, ciascuno indicato con la sua voce «X↓→ = ⊕⁴X#1», e il generatore puffer come un grande oggetto in movimento che deposita cannoni, ognuno richiamato dal catalogo. Qui gli autori si fermano prima del numero: la caratterizzazione del puffer «non è ancora stata effettuata». È un’ammissione che conviene registrare, perché il libro presenta il metodo come una procedura eseguibile e non come una stima a occhio.

Che cosa insegna l’esempio

Il Game of Life è un banco di prova ideale per tre ragioni. Primo, il modello probabilistico è controllabile: una griglia riempita a caso ha una distribuzione nota, e le frequenze degli oggetti ash sono misurate empiricamente. Secondo, il contesto è stato costruito da una comunità di appassionati prima e indipendentemente dall’analisi, il che soddisfa la condizione di indipendenza della sezione 4. Terzo, e più importante, le classi del catalogo sono funzionali: si chiamano «oscillatore», «astronave», «cannone» perché fanno qualcosa, e il significato che l’ASC misura è il significato che gli utenti avevano già assegnato. L’ASC, scrivono gli autori, è «una metodologia semplice per assegnare numeri alla complessità specificata degli oggetti nel Gioco della Vita». Non pretende di scoprire il significato: lo quantifica dopo che un contesto lo ha reso riconoscibile.

9. Che cosa misura davvero l’ASC

Il capitolo 7 si chiude con un titolo che i critici hanno trovato imprudente e che è invece, a ben vedere, la parte più onesta del libro: «Il significato è negli occhi di chi guarda». Gli autori citano Shakespeare («la bellezza si acquista con il giudizio degli occhi») e Hume («la bellezza delle cose esiste solo nella mente che le contempla»), sostituiscono «bellezza» con «informazione significativa» e concludono che le frasi suonano vere: il grado di informazione significativa è determinato dal contesto dell’osservatore, e l’ASC è un modello che consente la valutazione quantitativa del significato contestuale. Conviene prendere sul serio questa dichiarazione e trarne le conseguenze prima di passare alle obiezioni.

La prima conseguenza è che l’ASC non è una proprietà dell’oggetto da solo. È una funzione di tre argomenti: l’oggetto Y, il contesto C e il modello probabilistico p. Cambiando il contesto cambia il valore; cambiando il modello cambia il valore. Questo non è un difetto della misura rispetto a Shannon o Kolmogorov, che hanno la stessa dipendenza (dal modello e dal linguaggio, rispettivamente), ma lo rende esplicito. La seconda conseguenza è che l’ASC è una misura di sorpresa strutturata: quanto la brevità con cui il contesto permette di descrivere l’oggetto supera ciò che il modello probabilistico lascerebbe attendere. Il teorema della sezione 5 garantisce che, sotto p, la sorpresa strutturata è rara; non dice nulla su ciò che accade se p è sbagliato.

Da qui la distinzione che il percorso ripete in ogni modulo e che qui assume una forma particolarmente netta. L’argomento negativo: se un oggetto mostra α bit di ASC rispetto a un’ipotesi di caso p e a un contesto indipendente C, allora la probabilità che p lo abbia prodotto è al più 2^−α; superata una soglia (locale o universale, modulo 3), p va rigettata. Questo è ciò che l’ASC dimostra, ed è esattamente ciò che la complessità specificata dimostrava nei moduli 4 e 5, con il vantaggio di un apparato più esplicito per la lunghezza di descrizione. L’argomento positivo, l’inferenza al progetto, richiede in più che tutte le ipotesi di caso e di necessità rilevanti siano state eliminate (il filtro esplicativo del modulo 4) e che l’osservazione, in altri casi, dell’origine intelligente di oggetti ad alta ASC renda ragionevole la stessa attribuzione. I due fiocchi identici sono il caso di scuola: 3322 bit sotto il modello uniforme rigettano il modello uniforme, e la fisica dei cristalli offre subito un’alternativa non intelligente. L’ASC ha fatto il suo lavoro, che è quello di dire «non così»; il lavoro di dire «così, invece» spetta ad altro.

Vale infine la pena osservare il rapporto fra ASC e le due grandezze del modulo 7. L’informazione intrinseca I è l’informazione endogena di una ricerca; la riduzione della lunghezza di descrizione grazie al contesto è, in un senso che il prossimo modulo preciserà, l’informazione che il contesto immette nel problema. Il libro lo dice di sfuggita, nel capitolo 2: una fonte esterna di conoscenza aiuta chi pone domande a trovare la risposta più in fretta, e «se il quizmaster si è sbucciato l’alluce sinistro in mattinata», la domanda «è l’alluce sinistro?» smette di essere stupida. Il contesto che comprime e l’informazione attiva che guida una ricerca sono due facce della stessa contabilità.

10. Obiezioni

«Il contesto si sceglie dopo aver visto l’oggetto: l’ASC è un tiratore texano con la calcolatrice»

L’obiezione, nella sua forma più forte, suona così. Per calcolare K(Y|C) occorre un contesto; ma chi lo sceglie? Se lo sceglie l’analista dopo aver osservato Y, potrà sempre trovare un C che comprime Y, esattamente come il tiratore texano che disegna il bersaglio intorno ai fori. L’esempio della biblioteca nella sezione 4 lo mostra in modo imbarazzante: con un contesto che contiene il testo, la Bibbia di Re Giacomo si descrive con 10 bit e ha 40 milioni di bit di ASC. Ma un contesto che contiene l’oggetto non è un contesto: è una risposta. E anche la clausola «purché C sia fissato prima» non salva la situazione, perché nel mondo reale i contesti (il catalogo del Game of Life, le categorie del poker, la biologia molecolare) sono stati costruiti guardando gli oggetti che ora si vorrebbero misurare. Il teorema di rarità vale per un C fissato, ma nessun C interessante è mai stato fissato senza guardare.

Va concesso che l’esempio della biblioteca, preso come illustrazione di una misura di design, è infelice: il libro lo presenta per mostrare come K(Y|C) decresce al crescere del contesto, e in quel ruolo è corretto, ma un contesto che include l’oggetto viola la condizione di indipendenza che The Design Inference pone come requisito. Va concesso anche che la separazione fra «contesto fissato prima» e «contesto costruito guardando» è, nei casi reali, una questione di grado. La risposta degli autori si articola su due livelli. Il primo è il requisito di indipendenza probabilistica fra contesto ed evento, sotto l’ipotesi considerata: il catalogo del Game of Life è stato costruito guardando oscillatori e alianti, ma non guardando questo oscillatore, e non è la sua esistenza a rendere probabile il contesto; il poker esisteva prima della mano che stiamo valutando. Il secondo livello è la commensurabilità delle lunghezze di descrizione fra linguaggi indipendenti dall’evento: se C dipende in parte da Y, ma assegna a Y una descrizione commensurabile a quella che assegnerebbe un linguaggio indipendente, le conclusioni restano valide. Il rimedio pratico, che il modulo 2 aveva già indicato, è il costo di descrizione del contesto stesso: quando il contesto è cucito addosso all’evento, descriverlo costa tanti bit quanti se ne risparmiano, e il guadagno svanisce. The Design Inference lo formalizza per le trasformazioni: una trasformazione semplice non può aumentare sostanzialmente la complessità specificata, e una che la aumenta lo fa solo perché la complessità era stata incorporata in essa. Resta vero che l’onere di mostrare l’indipendenza del contesto ricade su chi usa la misura, caso per caso, e che l’ASC non fornisce un test automatico per accertarla.

«Il limite Pr[A ≥ α] ≤ 2^−α vale solo sotto il modello p: un’ASC alta rivela un modello sbagliato, non un progettista»

Questa è l’obiezione più solida, e il modulo l’ha già incontrata nei fiocchi di neve. Il teorema di rarità è una tautologia probabilistica: dice che gli eventi improbabili sotto p sono improbabili sotto p. Quando un oggetto reale mostra molti bit di ASC, la conclusione logicamente più economica non è che qualcuno lo ha progettato, ma che p non è la distribuzione che lo ha generato. I due cristalli di Knight non hanno un autore: hanno una storia termodinamica comune. Un cristallo di quarzo, una scarica elettrica ramificata, la successione di Fibonacci nelle infiorescenze hanno tutte ASC alta sotto un modello uniforme e ASC bassa sotto il modello fisico giusto. Applicata alla biologia, l’obiezione diventa: rispetto a quale p si calcola l’ASC di una proteina? Se rispetto alla distribuzione uniforme sulle sequenze, si sta rigettando un’ipotesi che nessun biologo sostiene.

Va concesso senza riserve che il teorema non dice nulla sulla verità del modello, e che un’ASC elevata è, in prima battuta, un argomento contro p e non a favore di alcunché. Ma questo è esattamente il modo in cui il percorso ha sempre presentato la complessità specificata: uno strumento per eliminare ipotesi di caso, una alla volta, non un rivelatore di intelligenza che opera in un colpo solo. The Design Inference lo scrive espressamente: una pagina di testo potrebbe essere spiegata da inchiostro versato, da scimmie a una tastiera, da ritagli incollati, e ciascuna di queste è un’ipotesi di caso distinta da rigettare separatamente; e il capitolo 7 del libro, oggetto del modulo 8, è dedicato per intero a come isolare le ipotesi evolutive rilevanti e a quali probabilità calcolare sotto di esse. La forza dell’ASC sta nel fatto che il calcolo si può ripetere per ogni p proposto, e che il contesto resta lo stesso mentre il modello cambia. Ciò che l’obiezione mostra, e che va accettato, è che il passo dall’ultimo p rigettato al progetto non è un passo che l’ASC compie: è il passo del filtro esplicativo, con tutte le cautele esposte nel modulo 4 e con il problema, mai chiuso, di sapere se le ipotesi considerate esauriscano quelle possibili.

«K è incomputabile e l’ASC è solo un limite inferiore: non si può mai dimostrare che un oggetto abbia ASC bassa, e la costante additiva manda all’aria i piccoli numeri»

Un critico potrebbe premere sulla non calcolabilità in due direzioni. Nella prima: poiché A ≥ I − K̃, e K̃ dipende da quanto siamo bravi a comprimere, un’ASC stimata bassa non prova nulla, perché un compressore migliore potrebbe alzarla di quanto si vuole. Lo strumento è quindi asimmetrico: può accusare, non assolvere, e un’ASC negativa come quella del lampeggiatore è un’affermazione sul nostro codice, non sull’oggetto. Nella seconda direzione: tutte le uguaglianze KCS valgono «a meno di una costante c» che dipende dal linguaggio, e nei calcoli del capitolo 7 compaiono numeri come 16, 12,8 o −18 bit, cioè dell’ordine di grandezza della costante che si è deciso di trascurare. I bit del poker e del Game of Life potrebbero essere interamente artefatti della codifica scelta.

Va concesso che l’asimmetria è reale ed è esplicitamente riconosciuta dagli autori, che scrivono che «non esiste un modo diretto per calcolare l’ASC» e che «è possibile ottenere solo dei limiti». Va concesso anche che i piccoli valori del capitolo 7 hanno un significato didattico, non inferenziale: nessuno propone di dedurre un progettista da 16 bit, e i limiti del modulo 3 sono di un altro ordine di grandezza. Ma l’asimmetria gioca nella direzione giusta per l’uso inferenziale della misura. Il teorema di rarità limita la probabilità dell’ASC vera, e la stima I − K̃ è sempre minore o uguale a essa; quindi, se la stima supera la soglia, la conclusione è conservativa, e un compressore migliore la rafforzerebbe soltanto. L’impossibilità di dimostrare che un oggetto ha ASC bassa non danneggia il ragionamento eliminativo, perché per non rigettare p basta non trovare una compressione; è la stessa asimmetria per cui, come racconta il modulo 2 con la sequenza (R) di Chaitin, si considera casuale una sequenza finché non se ne trova una descrizione breve. Quanto alla costante additiva: essa diventa trascurabile per oggetti grandi, che sono i soli per cui la misura ha interesse inferenziale, e i due libri lo dichiarano apertamente. L’obiezione ha però un residuo che va tenuto: per oggetti di taglia intermedia, l’ASC calcolata è sensibile alla scelta del codice, e due analisti onesti con codici diversi otterranno numeri diversi. La commensurabilità garantisce che non otterranno numeri radicalmente diversi; non garantisce l’accordo sui casi marginali.

«Una misura relativa all’osservatore non può fondare un’inferenza oggettiva»

L’ultima obiezione prende gli autori in parola. Se il significato è «negli occhi di chi guarda», se l’ASC di una stessa fotografia cambia a seconda che chi la osserva conosca o no le persone ritratte, allora l’ASC misura una relazione fra oggetto e osservatore, non una proprietà dell’oggetto; e nessuna relazione di questo tipo può servire da prova che l’oggetto ha un’origine intelligente, perché un osservatore diverso otterrebbe una prova diversa. Il Monte Rushmore ha alta ASC per un americano e bassa per l’alieno; chi ha ragione?

Va concesso che l’ASC è relativa a un contesto, che gli autori lo dichiarano, e che un lettore abituato a pensare le misure fisiche come indipendenti dall’osservatore trova questo scomodo. La risposta ha due parti. La prima è che la relatività è a senso unico: il teorema di rarità vale per ogni contesto, quindi un osservatore con un contesto povero può mancare una specificazione che esiste, ma nessun osservatore, con nessun contesto indipendente, può inventarne una che non esiste, se non a probabilità 2^−α. L’alieno che non vede il significato del Monte Rushmore commette un errore di omissione, non l’americano un errore di commissione. È per questo che The Design Inference può dire che, a parità di condizioni, la conclusione di caso in una lingua e di design in un’altra segnala una carenza della prima lingua. La seconda parte è la commensurabilità: linguaggi nati da un contesto di indagine comune assegnano lunghezze di descrizione simili, e un evento con descrizione breve in una lingua l’avrà breve nella maggior parte delle altre. Una frase tradotta non diventa un libro. La relatività all’osservatore, dunque, non è arbitrarietà: è la stessa relatività della complessità di Kolmogorov al linguaggio, addomesticata dallo stesso teorema di invarianza. Resta vero, e va detto, che questo argomento funziona per contesti condivisi da una comunità, e che i disaccordi reali sulla biologia riguardano proprio quale contesto sia legittimo. Su questo l’ASC non decide.

I limiti dell’argomento di questo modulo

Che cosa stabilisce questo modulo, e che cosa no. Stabilisce che esiste una misura, definita con precisione e dotata di una garanzia probabilistica dimostrabile, che assegna valori alti agli oggetti improbabili e brevemente descrivibili in un contesto dato, e valori bassi o nulli agli oggetti improbabili e basta; che la misura si comporta come ci si aspetta su casi in cui il modello probabilistico e il contesto sono sotto controllo (poker, fiocchi, Game of Life), e che i suoi calcoli, rifatti, sono aritmeticamente coerenti. Non stabilisce che l’ASC sia una misura oggettiva del significato in senso filosofico: è una misura del significato relativo a un contesto, e gli autori non affermano di più. Non stabilisce che un’ASC elevata implichi un progettista: implica il rigetto del modello probabilistico usato, e nient’altro senza il filtro esplicativo. Non stabilisce che l’ASC sia calcolabile con precisione: fornisce limiti inferiori dipendenti dal codice, trascurabilmente sensibili alla codifica solo per oggetti grandi. E non tocca ancora la biologia: il contesto rilevante per una proteina, il modello probabilistico rilevante per l’evoluzione, e il modo in cui i due si combinano sono l’oggetto del modulo 8, dopo che il modulo 7 avrà mostrato che cosa la conservazione dell’informazione dice sul costo di un contesto che guida una ricerca.

Concetti chiave

1. Shannon misura la sorpresa, Kolmogorov misura la comprimibilità: nessuna delle due misura il significato. Un disco di rumore e un disco con un film hanno la stessa informazione di Shannon; il rumore ha complessità KCS massima. Il significato non sta agli estremi della scala della complessità.
2. La complessità KCS condizionale K(Y|C) rende il contesto una risorsa contabilizzabile. È la lunghezza del programma più breve che produce Y potendo usare gratuitamente C; vale sempre K(Y|C) ≤ K(Y). È la versione rigorosa della lunghezza minima di descrizione del modulo 2.
3. L’ASC è la differenza fra improbabilità e descrivibilità: A = I(Y) − K(Y|C). Improbabile e breve da descrivere nel contesto: ASC alta. Improbabile e incomprimibile: ASC nulla. Probabile: ASC nulla o negativa.
4. Un’ASC elevata è rara sotto il modello probabilistico: Pr[A ≥ α] ≤ 2^−α. La dimostrazione usa la disuguaglianza di Kraft e vale per qualunque contesto fissato indipendentemente dall’oggetto. Non vale, e non pretende di valere, se il modello p è sbagliato.
5. Ogni ASC calcolata è un limite inferiore. La complessità di Kolmogorov non è computabile; si dispone solo di stime K̃ ≥ K, quindi di A ≥ I − K̃. Un compressore migliore può solo alzare il valore: la conclusione, se supera la soglia, è conservativa.
6. I tre esempi confermano il comportamento atteso e la coerenza aritmetica. Scala reale: 21,3 − 5,3 = 16 bit. Un fiocco di neve tra 10¹⁰⁰⁰: 3322 − 3322 = 0 bit; due fiocchi identici: 6644 − 3322 = 3322 bit. Lampeggiatore del Game of Life: 35 − 53 = −18 bit, coerente con la sua frequenza fra gli oggetti nati dal caso.
7. L’ASC compie l’argomento negativo, non quello positivo. Rigetta il modello probabilistico rispetto a cui è calcolata; il passaggio al progetto richiede il filtro esplicativo (modulo 4) e l’eliminazione delle alternative rilevanti (modulo 8). I fiocchi identici di Knight sono il caso di scuola: rigettano il modello uniforme, e la fisica offre l’alternativa.
8. Il significato è relativo a un contesto, ma la relatività è a senso unico. Un contesto povero può mancare una specificazione esistente; nessun contesto indipendente può crearne una inesistente se non con probabilità 2^−α. La commensurabilità fra linguaggi impedisce che osservatori onesti ottengano valori radicalmente diversi.

Per approfondire

• Complessità specificata come riconoscere matematicamente il design — l’introduzione al filtro esplicativo, ai 500 bit e alla distinzione Shannon/Kolmogorov che questo modulo presuppone.
• Il DNA un linguaggio scritto dentro di noi — il caso biologico in cui sequenze con la stessa informazione di Shannon hanno significato diversissimo.
• Ordine, caso e informazione: le tre categorie che quasi tutti confondono — perché un cristallo (ordine, bassa complessità) e una sequenza casuale (alta complessità, nessuna specificazione) non sono informazione nel senso rilevante.
• I limiti degli algoritmi evolutivi — l’introduzione all’informazione attiva e ai teoremi No Free Lunch, il cui legame con il contesto dell’ASC sarà sviluppato nel modulo 7.
• Il codice genetico è un software che nessuno ha programmato? — un contesto biologico concreto (il codice a triplette) rispetto a cui la questione della descrivibilità diventa tangibile.
• Il metodo scientifico dell’ID: come si riconosce un progetto? — il quadro generale in cui una misura come l’ASC dovrebbe inserirsi, e i suoi limiti metodologici.

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