La specificazione: descrivere il bersaglio prima del tiro

Percorso: Matematica del Design
Modulo 2

Prerequisiti:
Modulo 1 – Fuori dalla portata del caso
Guida alla lettura
Disclaimer

Introduzione: descrivere il bersaglio prima del tiro

Il modulo 1 ha ricostruito la storia e la logica dell’eliminazione del caso: da de Moivre a Borel, da Fisher alle applicazioni forensi, crittografiche e astronomiche. Ne è emersa una conclusione che quel modulo ha lasciato volutamente in sospeso: la sola improbabilità non basta mai a escludere il caso. Ogni mano di bridge, ogni disposizione di freccette su un bersaglio, ogni sequenza di mille lanci di moneta è un evento di probabilità minuscola, eppure nessuno ne chiede conto. Ciò che fa scattare il sospetto non è la piccola probabilità in sé, ma la sua coincidenza con un modello. E non con un modello qualsiasi.

Questo modulo si occupa esattamente di questo secondo ingrediente. La domanda è: quali modelli hanno il diritto di eliminare il caso, e quali no? La risposta che Dembski ed Ewert danno nella seconda edizione di The Design Inference (2023) è che i modelli legittimi, chiamati specificazioni, sono quelli che ammettono una descrizione breve. I modelli illegittimi, chiamati fabbricazioni, sono quelli che si possono ottenere solo leggendo l’evento a posteriori e ricopiandolo nei minimi dettagli. Tutto il modulo è lo sviluppo tecnico di questa distinzione: che cosa significa «descrizione breve», in quale linguaggio si misura, perché la brevità della descrizione fa il lavoro che una volta si chiedeva alla «indipendenza» o alla «staccabilità» del modello, e come da una specificazione si costruisce una regione di rifiuto con cui il caso viene formalmente eliminato.

Il titolo, «descrivere il bersaglio prima del tiro», allude all’immagine più antica di questa logica: un arciere che centra un bersaglio dipinto prima che la freccia parta mostra abilità; un bersaglio dipinto intorno alla freccia dopo il tiro non mostra nulla. Il caso statistico più semplice è proprio questo: la regione di rifiuto viene fissata prima dell’esperimento. Ma la maggior parte delle inferenze interessanti, nella scienza come nella vita, riguarda modelli scoperti dopo l’evento. Il problema centrale del modulo è allora: a quali condizioni un bersaglio individuato dopo il tiro vale quanto uno dipinto prima?

Una precisazione di metodo: su questo sito il disegno intelligente è presentato come deduzione logica e filosofica a partire da dati empirici, non come teoria scientifica già consolidata (si veda la Guida alla lettura). In questo modulo non compare ancora alcuna inferenza al progetto: la specificazione è uno strumento per eliminare ipotesi di caso, cioè un pezzo dell’argomento negativo. Il passaggio dall’eliminazione del caso al design è oggetto del modulo 4, e il modo in cui si fissa la soglia di «piccola probabilità» è oggetto del modulo 3.

1. Fiori, Monopoly e schede elettorali: che cosa rende sospetto un modello

Dembski ed Ewert aprono il capitolo sulla specificazione con tre esempi che condividono la stessa struttura. Nel porto interno di Victoria, nella Columbia Britannica, un’aiuola di fiori compone la scritta «Welcome to Victoria»: chiunque la veda conclude che i fiori sono stati piantati apposta. All’inizio degli anni Duemila si scoprì che quasi tutti i premi principali della promozione Monopoly di McDonald’s erano stati vinti da amici, parenti e collaboratori di Jerome P. Jacobson, il responsabile della sicurezza del concorso. Nicholas Caputo, impiegato di una contea del New Jersey incaricato di sorteggiare l’ordine dei candidati sulle schede elettorali, mise i Democratici, il suo partito, al primo posto in 40 elezioni su 41, e la Corte Suprema del New Jersey ritenne il risultato troppo improbabile per essere frutto del caso.

In tutti e tre i casi la reazione istintiva è: «è troppo improbabile». Ma il modulo 1 ha già mostrato che questa risposta è incompleta. Per ciascun esempio esiste un evento parallelo, altrettanto improbabile, che non desta alcun sospetto. La disposizione esatta delle erbacce in un’aiuola incolta è improbabile quanto la scritta di fiori. Ogni anno circa duecento persone diventano milionarie vincendo alla lotteria, e la probabilità che siano proprio quelle persone è bassa quanto la probabilità che vincano i soci di Jacobson. Nel mondo ci sono innumerevoli impiegati elettorali che sorteggiano ordini di candidatura, e per ciascuno di loro la sequenza precisa osservata in quaranta elezioni è estremamente improbabile.

La differenza, scrivono gli autori, «si riduce al fatto che un evento altamente improbabile corrisponde a un modello semplice e facilmente descrivibile». La descrizione «fiori che scrivono “Welcome to Victoria”» è breve, e qualsiasi disposizione di fiori che vi risponda è improbabile. La descrizione che identifica le posizioni e i tipi delle erbacce è lunga e complicata. È vero che «aiuola di erbacce» è una descrizione brevissima, ma non descrive un evento improbabile: moltissime aiuole possibili le corrispondono. Allo stesso modo, «soci di Jacobson» descrive in due parole l’insieme dei vincitori dei premi maggiori; per gli altri vincitori di lotterie non esiste una descrizione così compatta che sia anche improbabile («un assortimento di persone» è breve ma ha probabilità vicina a uno). E «Democratici primi in 40 schede su 41» descrive l’evento di Caputo, mentre una sequenza casuale di ordini di voto richiede un elenco («Democratici primi alla prima, Repubblicani alle tre successive, Democratici alle due successive…») i cui puntini di sospensione vanno riempiti uno per uno.

Gli autori illustrano il punto con una battuta di cinema. In L’impero colpisce ancora Darth Vader dice a Luke: «No, io sono tuo padre». La relazione è sorprendente anche perché si descrive in tre parole. In Balle spaziali, la parodia di Mel Brooks, Dark Helmet dichiara a Lone Starr: «Sono l’ex compagno di stanza del nipote del fratello di tuo padre». La battuta funziona perché una relazione così artificiosa, che richiede una descrizione così lunga, non evoca alcun sospetto: con tutti gli abitanti del pianeta collegati da pochi gradi di separazione (Milgram, 1967), una descrizione abbastanza lunga finisce per identificare chiunque. La chiave è la corrispondenza fra un evento improbabile e una descrizione breve dello stesso. Quando esiste solo una descrizione lunga, l’improbabilità, per quanto estrema, non suscita alcun sospetto.

2. Due complessità che vanno in direzioni opposte

Prima di formalizzare la nozione di descrizione breve, occorre sgombrare il campo da una confusione ricorrente. Nelle inferenze progettuali le parole «complessità» e «semplicità» compaiono due volte, applicate a due cose diverse, e vanno in direzioni opposte.

La prima complessità è probabilistica. Se una moneta equa viene lanciata mille volte, la sequenza esatta ha probabilità 2⁻¹⁰⁰⁰ e corrisponde a 1.000 bit di informazione (nel senso di −log₂ P, si veda l’Appendice A del libro). Un evento improbabile è dunque complesso nel senso che corrisponde a molti bit; un evento di probabilità media o grande, come due lanci consecutivi (probabilità 1/4, cioè 2 bit), è probabilisticamente semplice. A ogni probabilità corrisponde una lunghezza in bit, non necessariamente intera.

La seconda complessità è descrittiva, e riguarda non l’evento ma il modello che lo identifica. Si confrontino due sequenze di 1.000 lanci: una genuinamente casuale e una fatta di sole teste. La sequenza casuale, come si è visto nel modulo 1 a proposito di Chaitin, non ammette descrizione più breve della sua ripetizione integrale. La sequenza di sole teste ha una descrizione di poche parole: «tutte teste». Entrambe hanno la stessa probabilità, 2⁻¹⁰⁰⁰; ma solo la seconda è al tempo stesso «probabilisticamente complessa» (piccola probabilità, molti bit) e «descrittivamente semplice» (pochi bit per descriverla). È questa combinazione che autorizza a rifiutare il caso per mille teste di fila, e non per una sequenza casuale di uguale improbabilità.

Le inferenze progettuali sono un gioco di equilibrio fra la complessità degli eventi e la semplicità delle descrizioni. Un evento deve avere probabilità piccola, cioè alta complessità in bit; e deve corrispondere a un modello di breve lunghezza di descrizione, cioè bassa complessità descrittiva. Tutte le altre combinazioni (semplicità probabilistica con complessità descrittiva, o entrambe semplici, o entrambe complesse) non consentono alcuna inferenza valida. Il termine «complessità specificata», che il modulo 6 tratterà come misura unificata, contiene già entrambi gli ingredienti: «complessità» rimanda alla piccola probabilità, «specificata» rimanda alla descrizione breve.

Questa doppia contabilità in bit ha una conseguenza pratica che il resto del modulo sfrutterà: probabilità e lunghezza di descrizione sono commensurabili, perché entrambe si misurano nella stessa unità. È ciò che permetterà, nel modulo 6, di sottrarre l’una dall’altra. Ma anche senza arrivare a quel punto, la commensurabilità permette già di formulare la domanda giusta: non «quanto è improbabile l’evento?», bensì «quanto è improbabile l’evento rispetto alla brevità con cui lo si può descrivere?».

3. La lunghezza minima di descrizione

Chiamare specificazioni i modelli «con descrizione semplice» sposta il problema: che cosa rende semplice una descrizione? La risposta di Dembski ed Ewert è deliberatamente minimalista. La semplicità di una descrizione è la sua lunghezza; una descrizione è semplice se è corta. Questo trasforma la specificazione in una nozione di teoria della complessità, dove la metrica che misura la lunghezza delle descrizioni è a tutti gli effetti una misura di complessità, nel senso «spaziale» (quanta memoria occorre) e non temporale (quanti passi di calcolo occorrono).

Non si tratta di un’invenzione ad hoc. La letteratura matematica, statistica e informatica è piena di misure di questo tipo, con terminologie diverse a seconda del campo. In statistica, il principio della lunghezza minima di descrizione (MDL, Minimum Description Length), introdotto da Rissanen nel 1978 e rivisitato di recente da Grünwald e Roos (2020), è usato nella selezione dei modelli e nel confronto di ipotesi. In informatica teorica, la teoria algoritmica dell’informazione (AIT), fondata indipendentemente da Solomonoff, Kolmogorov e Chaitin a metà degli anni Sessanta, misura la complessità di una stringa con la lunghezza del programma più breve che la produce: la complessità di Kolmogorov. Il modulo 6 tornerà su questa misura in dettaglio; qui basta la sua idea di fondo, già anticipata nel modulo 1 con l’esempio di Chaitin sui lanci di moneta.

Tutte queste misure hanno una caratteristica in comune: cercano la descrizione più breve. E qui interviene un fatto fondamentale, che gli autori non nascondono: la lunghezza minima di descrizione non è computabile. È una conseguenza dell’insolubilità del problema dell’arresto: come scrivono Cover e Thomas nel loro manuale di teoria dell’informazione, l’unico modo per trovare in generale il programma più breve è provare tutti i programmi brevi e vedere quale funziona, ma in ogni istante alcuni di essi potrebbero non essersi ancora fermati, e non esiste un procedimento meccanico per sapere se si fermeranno. Non esiste quindi alcun algoritmo che, data una stringa, restituisca la lunghezza della sua descrizione minima.

Questo sembra un colpo mortale al progetto; in realtà ne definisce solo la portata. Non computabilità significa che non c’è garanzia che la descrizione breve che qualcuno ha trovato sia davvero la più breve. Ma per una specificazione non servono descrizioni ottimalmente brevi; servono descrizioni sufficientemente brevi. Se troviamo una descrizione corta, sappiamo che la descrizione minima è almeno altrettanto corta: ogni descrizione trovata è un limite superiore alla lunghezza minima, e per stabilire che un modello è una specificazione un limite superiore basta. In pratica, dunque, la lunghezza minima si stima: si prende la descrizione più breve che ci viene in mente e si usa la sua lunghezza come stima per eccesso.

Resta un punto critico, che gli autori dichiarano subito e che il capitolo 6 del libro (e qui la sezione 9) affronta: le specificazioni sono relative al linguaggio. La lunghezza di una descrizione dipende dal linguaggio in cui è formulata, e il linguaggio determina quali misure di complessità sono disponibili. Dembski ed Ewert sostengono che questa dipendenza «è una caratteristica e non un difetto»: sottolinea il ruolo del contesto e della conoscenza di sfondo, e spiega perché agenti diversi non traggono tutti le stesse inferenze. La dipendenza dal linguaggio, dicono, «significa semplicemente che potremmo non sapere abbastanza per trarre certe inferenze progettuali, non che le inferenze progettuali che traiamo non siano valide». Se questa risposta regga è una delle domande a cui torneremo nelle obiezioni.

4. Eventi, modelli e specificità

Serve ora una notazione precisa. L’ordine tipico di un’inferenza progettuale è questo: assistiamo a un evento; inizialmente non vi vediamo nulla di strano; in un secondo momento notiamo che presenta un modello saliente, tale che è altamente improbabile che un evento vi corrisponda per caso; se il modello ha anche una descrizione breve, scatta l’inferenza. Chiamiamo l’evento E e il modello V. E è qualcosa che accade nel mondo; V è un’entità linguistica o informazionale che identifica un evento nel mondo. Per distinguere il modello come descrizione dall’evento che esso identifica, gli autori usano un asterisco: V* è l’evento identificato da V. Questa dualità evento-modello percorre tutto il libro.

Un modello V «descrive» l’evento E quando E rientra nell’evento identificato da V, cioè quando V* include E (in notazione insiemistica, E ⊂ V*). Non è richiesto che V* coincida con E. Se lancio un dado ed esce un sei (evento E), la descrizione «è uscito un numero pari» (V) identifica l’evento V* = {2, 4, 6}, di probabilità 1/2, e descrive E, perché il sei implica logicamente il pari; ma non lo identifica esattamente, e infatti E ha probabilità 1/6. Descrivere non è identificare con precisione: il verificarsi di E garantisce il verificarsi di V*, ma V* può contenere esiti che non hanno nulla a che fare con E.

Da qui la nozione di specificità. Nel poker esistono 2.598.960 mani distinte. Sia E l’evento «scala reale di cuori». Se V è «scala reale di cuori», allora V* = E e la probabilità è 1/2.598.960. Se V è «scala reale», la descrizione è più breve ma l’evento identificato è più ampio: quattro mani vi rispondono, probabilità 4/2.598.960 = 1/649.740. Se V è «una mano qualsiasi», la descrizione ha più o meno la stessa lunghezza di «scala reale», ma V* è l’intero spazio, probabilità 1. Diciamo allora che «scala reale di cuori» descrive E con la massima specificità (lo restringe esattamente a E), «scala reale» con alta specificità (lo restringe a una di quattro mani), «una mano qualsiasi» con specificità minima. Un modello ha alta specificità nella misura in cui restringe la gamma degli eventi possibili, cioè nella misura in cui l’evento che identifica esattamente è improbabile. Un modello V che descrive E innescherà un’inferenza solo se la sua specificità è alta, vale a dire se V* è a sua volta improbabile.

Già in questo esempio si vede un compromesso che tornerà continuamente: allungando la descrizione si può abbassare la probabilità dell’evento descritto («scala reale» → «scala reale di cuori»), ma il costo di una descrizione più lunga può essere, come in Balle spaziali, che l’inferenza non è più giustificata. Vale anche una nota di prudenza degli autori: con tutto il poker che si gioca nel mondo, 1/649.740 non è una probabilità abbastanza piccola da escludere il caso; nella storia del poker le scale reali sono uscite per caso. Quanto piccola debba essere è la domanda del modulo 3.

Riconoscere un modello: la sequenza di Champernowne

Come si scopre un modello saliente? Gli autori sono espliciti: non esiste una classificazione precisa, né un algoritmo. La scoperta dipende dalla conoscenza di sfondo, dal contesto d’indagine, perfino da fattori psicologici; è spesso «frutto di un’intuizione fulminante», come nel lavoro investigativo. Ma il problema, dicono, «non è come scoprire questi schemi, ma cosa farne una volta scoperti». Se un programma di intelligenza artificiale scopre un modello con descrizione breve, quel modello è una specificazione a tutti gli effetti.

L’esempio che, per ammissione di Dembski, gli chiarì definitivamente che cosa rende un modello una specificazione è questo. Si consideri una sequenza di 100 cifre binarie, apparentemente ottenuta lanciando una moneta (0 per croce, 1 per testa):

0100011011000001010011100 1011101110000000100100011 0100010101100111100010011 0101011110011011110111100

Un trucco classico dei professori di statistica consiste nel far lanciare a metà della classe una moneta cento volte e nel chiedere all’altra metà di inventare mentalmente una sequenza che sembri casuale. Il professore poi separa i foglietti con precisione quasi perfetta, cercando una sola cosa: una serie di sei o sette teste (o croci) consecutive. In cento lanci reali una serie del genere è attesa; chi inventa la sequenza, invece, alterna troppo spesso, perché intuitivamente si aspetta un cambio circa il 70% delle volte anziché il 50%. Applicato alla sequenza qui sopra, il test la promuove: contiene sette zeri di fila, esattamente 50 alternanze, 49 uni e 51 zeri.

Eppure la sequenza non è affatto casuale. Basta separarla così: 0 | 1 | 00 | 01 | 10 | 11 | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 | 0000 | 0001 | … Sono i numeri binari scritti in ordine crescente, prima quelli a una cifra, poi a due, poi a tre, fino a cento cifre complessive. È la sequenza di Champernowne, costruita dal matematico David Gawen Champernowne nel 1933, che ha la proprietà notevole di contenere ogni blocco di n cifre con la frequenza limite 2⁻ⁿ, proprio come una sequenza infinita davvero casuale. Ha una descrizione breve («scrivi in ordine i numeri binari a una cifra, poi a due, e continua») ed è improbabile (2⁻¹⁰⁰, e sempre più improbabile allungandola). I due ingredienti ci sono entrambi. E in questo caso sappiamo anche chi l’ha progettata.

La lezione che gli autori traggono è un’asimmetria fra casualità e non casualità. Il professore, con il suo rozzo test delle ripetizioni, avrebbe promosso Champernowne come casuale; ma se qualcosa lo avesse insospettito e avesse guardato meglio, avrebbe visto il modello, e da quel momento non avrebbe più potuto non vederlo. «La casualità è sempre una designazione provvisoria»: qualcosa può passare da casuale a non casuale quando vi si scopre un modello. Il contrario non avviene: «la non casualità è sempre una designazione definitiva». La casualità si può disimparare, la non casualità no. È l’osservazione che Persi Diaconis fece a chiusura di una conferenza sulla casualità nel 1988: «Sappiamo cosa non è la casualità, non cosa è». In termini del modulo: la casualità corrisponde alle non-specificazioni (che possono diventare specificazioni con ulteriore indagine), la non casualità alle specificazioni.

La vecchia terminologia

Chi ha letto la prima edizione di The Design Inference (1998) o i lavori successivi ricorderà altri termini: «modelli staccabili», «modelli dati indipendentemente», «condizione di trattabilità», e in biologia «modelli che soddisfano requisiti funzionali dati indipendentemente». Nella seconda edizione tutto questo viene riassorbito nella lunghezza di descrizione, e vale la pena capire perché, perché è uno dei punti in cui la teoria è cambiata di più. L’idea originaria della staccabilità era che si potesse «staccare» il modello dall’evento, cioè ricostruirlo senza che l’evento si fosse verificato, e la si formalizzava con un criterio di indipendenza condizionale. Ma quel criterio, dicono ora gli autori, si è rivelato superfluo: la capacità di ricostruire un modello a prescindere dall’evento deriva direttamente dalla brevità della descrizione. Gli eventi con descrizione breve sono pochi e distanti fra loro, e quindi facilmente identificabili anche se non si verificano mai: «1.000 teste di seguito» identifica un evento a cui nessuno ha mai assistito. Analogamente, la «trattabilità» (descrizioni che richiedono minimo sforzo computazionale) si traduce nella lunghezza minima, e l’indipendenza funzionale in biologia è solo il caso particolare in cui la descrizione è formulata in termini di funzione o struttura. In una nota, Dembski attribuisce a Rob Koons, in un simposio del 2001, la spinta a «privare le specifiche di elementi superflui» e a concentrarsi sulla sola complessità della generazione del modello.

5. Le prespecifiche: quando il bersaglio è davvero dipinto prima

Finora l’ordine è stato: prima l’evento, poi la scoperta del modello. Ma l’ordine può invertirsi: si parte da un modello e si cerca un evento che vi corrisponda. In questo caso il modello si chiama prespecificazione, una specificazione ante hoc anziché post hoc, e funziona in modo leggermente diverso.

Si riprenda la sequenza del modulo 1, ottenuta lanciando davvero una moneta cento volte e che chiameremo E_r. Letta come modello, cioè trascritta cifra per cifra, è «lunga e complicata»: la sua descrizione più ovvia («due uno, quattro zeri, due uno, zero, uno, zero, due uno, tre zeri…») non è più breve della sequenza stessa. In base alla distinzione fra specificazioni e fabbricazioni, sembrerebbe una fabbricazione. Eppure, se una settimana dopo qualcuno dichiara di aver lanciato una moneta e di aver ottenuto proprio E_r, rifiutiamo il caso senza esitazione. Perché? Perché non abbiamo bisogno della trascrizione integrale: basta il modello «la stessa sequenza della settimana scorsa». Quando una sequenza è già stata identificata esplicitamente, il modello che la indica non richiede una descrizione completa; basta un’indicazione abbreviata. Come un pronome accorcia la frase nominale a cui rimanda, così una descrizione ridotta è sempre disponibile per riferirsi a una prespecificazione.

La ragione profonda è che le prespecificazioni sono identificate prima degli eventi di cui valutano la casualità, e questo ne controlla la complessità descrittiva in un modo che non vale per le specificazioni in generale. Gli autori usano l’immagine dei libri: l’insieme dei libri possibili è sterminato e non c’è modo di descrivere con precisione un libro che esiste solo in potenza; i libri reali, invece, sono limitati, e la Library of Congress cataloga i suoi quaranta milioni di volumi con codici di venti caratteri o meno. QA279.D455 1998, quindici caratteri, identifica univocamente la prima edizione di The Design Inference. Le prespecificazioni sfruttano allo stesso modo descrizioni già esistenti e completamente articolate. Nel film The Big Short, dopo che Charlie ha esposto la strategia d’investimento del duo, Jamie si limita a dire: «Quello che ha detto lui». Ciò che è già stato detto non va ripetuto, va solo indicato.

Da questa osservazione discende che le prespecificazioni hanno sempre descrizione breve, anche quando la brevità è solo implicita; e che la distinzione tra prespecificazioni e specificazioni non è di natura, ma di ordine temporale. Le prespecificazioni sono il caso più semplice, ed è il caso su cui la statistica classica ha costruito la sua teoria: in statistica si chiamano regioni critiche o regioni di rifiuto, fissate prima dell’esperimento. Se il campione (l’evento) cade nella regione di rifiuto (la prespecificazione), l’ipotesi di caso viene respinta.

Ma le prespecificazioni nascono anche fuori dai contesti stilizzati, attraverso le coincidenze. Una coincidenza, senza pregiudicarne la causa, è un gruppo di eventi conformi allo stesso modello: il primo evento diventa una prespecificazione per quelli successivi. Il modulo 1 ne ha già incontrate diverse. Nella proprietà intellettuale, la reinvenzione di un oggetto non banale non è attribuibile al caso: l’invenzione originale prespecifica la reinvenzione, e il plagio ne è il caso emblematico. Nella frode scientifica, Robert Slutsky e Jan Hendrik Schön riciclarono lo stesso schema di errori in articoli diversi, e ottenere due volte la stessa distribuzione di errori è «troppo casuale» per essere casuale. Nel software, le Easter egg, funzioni nascoste e non documentate, servono anche a smascherare chi copia il codice: chi le riproduce senza saperlo mostra che il suo codice non è indipendente.

Un esempio dalla biologia evolutiva merita attenzione, perché mostra che questa logica non è patrimonio dei teorici del design. John Maynard Smith, in The Theory of Evolution (1958), concluse che platelminti, anellidi e molluschi, tre phyla diversi, dovevano discendere da un antenato comune perché il loro comune schema di segmentazione embrionale «sembra improbabile che sia sorto in modo indipendente più di una volta». Non fu la sola improbabilità a portarlo a questa conclusione, ma il fatto che i tre gruppi seguissero lo stesso schema. Quello schema funzionò da prespecificazione per eliminare una particolare ipotesi di caso (l’origine indipendente). Maynard Smith non trasse alcuna inferenza progettuale, e questo è proprio il punto: l’eliminazione del caso tramite specificazione è un pezzo di ragionamento scientifico ordinario, neutrale rispetto a ciò che si conclude dopo.

6. Regioni di rifiuto indotte dalla specificazione: l’idea

Lo schema generale con cui una regione di rifiuto elimina il caso è il seguente. Dati (1) una regione di rifiuto R, sottoinsieme dello spazio delle possibilità Ω; (2) un evento E in Ω che cade in R; (3) la domanda se E sia avvenuto per caso secondo un’ipotesi H; (4) un numero positivo α che fa da soglia per le piccole probabilità; (5) P(R|H) ≤ α; ne segue che E non va considerato avvenuto secondo H. Che cosa renda α «abbastanza piccolo» è materia del modulo 3. Qui interessa la costruzione di R.

Con una prespecificazione la costruzione è immediata: se V è dato prima dell’osservazione, l’evento V* ha probabilità piccola ed E cade in V*, allora R è semplicemente V*. Le prespecificazioni inducono regioni di rifiuto semplici, ed è per questo che la ricerca statistica applicata le preferisce. Il problema nasce quando la specificazione è scoperta solo dopo il fatto: E si verifica, e solo allora troviamo un V a cui E è conforme. In questi casi la regione di rifiuto deve tenere conto di una complicazione ulteriore.

Si torni alla roulette del modulo 1. Il record mondiale di rossi consecutivi è 32, un evento di probabilità circa 1 su 25 miliardi; e si è visto che con circa 46 miliardi di giri l’evento diventa più probabile che improbabile. «Trentadue rossi di fila» è certamente un modello saliente con descrizione breve: una specificazione. Ma non è l’unico modello rilevante. Rosso e nero sono perfettamente simmetrici, e «trentadue neri di fila» ha la stessa lunghezza di descrizione e la stessa probabilità. E c’è anche «trentadue verdi di fila» (lo 0 o il 00 per trentadue volte), stessa lunghezza di descrizione e probabilità ancora più piccola, circa 1 su 80 mila trilioni di trilioni di trilioni. Se osserviamo 32 rossi e prendiamo V = «trentadue rossi di fila», con V* = E, la piccola probabilità di V* non basta a escludere il caso: dobbiamo considerare anche le altre specificazioni della stessa brevità.

L’immagine è quella delle frecce e dei bersagli. «Trentadue rossi di fila» dipinge un bersaglio sul muro, piccolo, difficile da centrare per caso. Ma «trentadue neri» e «trentadue verdi» dipingono altri bersagli, altrettanto piccoli o più piccoli. Se avessimo centrato uno qualsiasi di questi, avremmo egualmente dubitato del caso. Per decidere se una freccia ha colpito per caso il bersaglio «trentadue rossi», bisogna mettere insieme tutti i bersagli che avrebbero ugualmente suscitato il sospetto: quelli paralleli per piccolezza della probabilità e per brevità della descrizione. Più bersagli ci sono, più è probabile che una freccia ne colpisca uno per caso.

Nell’esempio della roulette le lunghezze di descrizione restavano costanti e variavano solo le probabilità. Ma che cosa accade quando varia anche la lunghezza della descrizione? Gli autori propongono un secondo esempio. Vedete passare, in successione immediata e ininterrotta, dieci Chevrolet Malibu nuove di zecca. Trovata pubblicitaria di un concessionario, o coincidenza? Per rispondere occorre sapere quante opportunità ci sono di osservare l’evento (con 1,4 miliardi di veicoli nel mondo, rimescolati continuamente, per cento anni, gli autori arrivano a circa 74 quadrilioni di opportunità) e quante marche e modelli circolano (una trentina di marche principali, più di ottanta modelli Chevrolet). Assumiamo, per amore di discussione, che l’evento sia specificato («dieci Chevy Malibu nuove di fila») e altamente improbabile. Anche così, il lavoro non è finito.

Che cosa avreste pensato vedendo dieci Malibu nuove rosse? Sareste stati ancora più colpiti. E vedendo semplicemente dieci Chevrolet nuove di fila? Meno colpiti. Si noti come le lunghezze di descrizione covariano con le probabilità: «dieci Chevy Malibu rosse nuove di fila» è più lunga di «dieci Chevy Malibu nuove di fila», ma identifica un evento meno probabile; «dieci Chevy nuove di fila» è più corta, ma identifica un evento più probabile. In un argomento di eliminazione del caso vorremmo descrizione breve e probabilità piccola, e i due fattori tendono a contrapporsi. Quale dei tre eventi è meno attribuibile al caso? Intuitivamente, il calo di probabilità delle Malibu rosse supera l’aumento di descrizione, e le dieci Chevrolet generiche non sembrano inverosimili dato quante ne circolano. Ma perché fermarsi alle Malibu? Dieci Honda Accord, dieci Porsche Carrera; nove auto, o venti. Ognuna di queste successioni sarebbe stata saliente, e ognuna avrebbe potuto entrare in un argomento di eliminazione del caso se probabilità e complessità descrittiva fossero state abbastanza basse.

Un argomento rigoroso, concludono gli autori, «prenderebbe in considerazione tutti gli eventi rilevanti a bassa probabilità e a bassa complessità descrittiva, bilanciandoli in modo che dove uno è maggiore, l’altro è minore». È esattamente ciò che fanno le regioni di rifiuto indotte dalla specificazione. Il capitolo 6 del libro lo farà con un’unica misura d’informazione, con la proprietà che se la complessità specificata di un evento è almeno n bit, la regione di rifiuto che lo contiene ha probabilità al più 2⁻ⁿ (lo vedremo nel modulo 6). Ma quel risultato presuppone informatica teorica non banale; in pratica è più intuitivo un approccio meno elegante, che è quello della prossima sezione.

7. Regioni di rifiuto indotte dalla specificazione: la matematica

Il compito è definire un approccio formale, pratico e intuitivo. Si parte da un evento E che si è verificato; troviamo che E rientra in una specificazione V (V* ⊃ E); V ha descrizione breve ma non è stata data in anticipo, quindi non è una prespecificazione, e c’è ancora del lavoro da fare.

Serve un’infrastruttura probabilistica. E e V* sono sottoinsiemi di uno spazio di probabilità Ω, su cui una distribuzione P assegna le probabilità in accordo con un’ipotesi di caso H; poiché qui si considera una sola H, si scrive P invece di P(·|H), ma nelle inferenze reali, dove si devono eliminare molte ipotesi di caso, la dipendenza da H sarà esplicita. V sarà la specificazione di base per la regione di rifiuto R che costruiremo; R includerà E; e per eliminare il caso la probabilità di R dovrà essere abbastanza piccola, cioè P(R) ≤ α, dove α è un limite di probabilità (locale o universale, modulo 3) fissato alla luce delle risorse probabilistiche disponibili.

Serve poi un’infrastruttura linguistica. V è una descrizione, e le descrizioni appartengono a un linguaggio ℒ, che si assume contenga tutte le descrizioni d’interesse e sia finitamente generato: un numero finito di caratteri o parole, e ogni espressione è una sequenza finita di essi. Su ℒ è definita una metrica di lunghezza |·|, per cui la lunghezza di V è |V|. Ma poiché le descrizioni si possono sempre allungare inutilmente, serve una metrica di lunghezza minima di descrizione, D(·):

D(V) = min { |W| : W ∈ ℒ e W* = V* },

cioè la lunghezza della più breve descrizione W che identifica lo stesso evento di V. Poiché V stessa è fra le W candidate, D(V) ≤ |V| sempre. La lezione immediata: se abbiamo una descrizione abbastanza corta da valere come specificazione, la sua lunghezza minima può solo essere più corta ancora, rendendola ancora più una specificazione.

Come per la probabilità si è fissata una soglia α, per la lunghezza si fissa un limite di complessità descrittiva m: una descrizione vale come specificazione se ha lunghezza ≤ m. Chi fissa α e m? «Le esigenze e gli interessi del ricercatore nel controllare i falsi positivi», cioè nell’evitare di eliminare il caso quando non andrebbe eliminato. Al limite m è associato il numero di tutte le descrizioni di ℒ di lunghezza ≤ m:

L(m) = cardinalità di { W ∈ ℒ : |W| ≤ m },

che, essendo ℒ finitamente generato, è sempre finito; per comodità lo si indica con M. Dunque m limita la lunghezza delle descrizioni e M limita il loro numero.

Con queste premesse, a condizione che |V| ≤ m e P(V*) ≤ α/M, la regione di rifiuto indotta dalla specificazione di base V è:

R = l’unione di tutti gli eventi W* di Ω, con W ∈ ℒ, tali che D(W) ≤ m e P(W*) ≤ α/M.

V è certamente fra le W dell’unione (D(V) ≤ |V| ≤ m, e P(V*) ≤ α/M per ipotesi), quindi R include V* e con esso E. Tecnicamente R dipende da Ω, ℒ, V, m, α e H; ma in un argomento di eliminazione del caso Ω, ℒ, V, m e α sono dati e restano fissi, mentre l’unica cosa che varia è H, perché le inferenze progettuali eliminano famiglie di ipotesi di caso. È questa dipendenza da H che va tenuta d’occhio.

La logica è parallela a quella dei test di significatività, e la estende. In un test fisheriano si osserva un risultato estremo nella coda di una distribuzione e si considera la probabilità combinata di tutti i risultati almeno altrettanto estremi. Con le regioni indotte dalla specificazione si va oltre: si considerano tutte le specificazioni almeno altrettanto estreme sia nella lunghezza di descrizione (≤ m) sia nella probabilità (≤ α/M). «Estremo» significa qui minimizzare entrambe. La specificazione di base V serve a garantire che R contenga davvero E.

Il risultato decisivo è che, sebbene calcolare esattamente P(R) possa essere difficile o impossibile, esiste un limite superiore immediato. R è l’unione di al più M eventi della forma W* (tanti quante sono le descrizioni di lunghezza ≤ m), ciascuno di probabilità ≤ α/M. Per subadditività, P(R) ≤ M × α/M = α. Poiché R contiene E e α è stato scelto alla luce delle risorse probabilistiche, il verificarsi di E per caso, secondo H, può essere escluso. Chi conosce la statistica riconoscerà qui la struttura di una correzione per confronti multipli: dividere α per il numero di «test» che avremmo potuto fare, cioè per il numero di bersagli brevi che avremmo potuto dipingere.

Un esempio completo

Gli autori mostrano come i pezzi lavorano insieme. Una roulette con 100 fessure equiprobabili, una rossa e novantanove nere, viene fatta girare 100 volte ed esce sempre il rosso: questo è E, di probabilità 100⁻¹⁰⁰ = 10⁻²⁰⁰. Il linguaggio ℒ è l’inglese: si assume, generosamente, un vocabolario di 10⁵ parole possibili per ogni posizione, sicché ci sono 10⁵ frasi di una parola, 10¹⁰ di due parole, 10¹⁵ di tre (una delle quali è «cento rossi ripetuti») e così via. Per controllare i falsi positivi si fissa m = 10 parole e α = 10⁻¹⁵⁰, il limite universale di probabilità che il modulo 3 ricaverà. Allora M = L(10) ≈ 10⁵⁰ (esattamente la somma 10⁵ + 10¹⁰ + … + 10⁵⁰, ma i termini minori sono trascurabili), e α/M = 10⁻²⁰⁰. Sia V = «cento rossi ripetuti» la specificazione di base: V* coincide con E. Allora R è l’unione di tutti i W* con D(W) ≤ 10 e P(W*) ≤ 10⁻²⁰⁰. Poiché D(V) ≤ |V| = 3 e P(V*) = 10⁻²⁰⁰, V* appartiene all’unione, R contiene E, e P(R) ≤ 10⁻¹⁵⁰. Tutti i tasselli sono al loro posto: il caso, secondo H, è escluso.

Si noti quanto sia oneroso il conto: la probabilità dell’evento, 10⁻²⁰⁰, ha dovuto «pagare» un fattore 10⁵⁰ per tutte le descrizioni di dieci parole che avrebbero potuto valere come specificazione, prima di confrontarsi con la soglia di 10⁻¹⁵⁰. La regione di rifiuto indotta è deliberatamente conservativa: sovrastima la probabilità di ciò che avremmo trovato sospetto, per non concedere nulla all’accusa di aver dipinto il bersaglio dopo il tiro.

Resta una domanda che gli autori stessi sollevano: una regione di rifiuto indotta dalla specificazione è a sua volta specificata? Nulla richiede che ℒ contenga un «operatore di regione di rifiuto» che trasformi specificazioni in nuove specificazioni. Ha più senso pensare a R non come a qualcosa di identificato da una specificazione, ma come al modo canonico di associare una specificazione di base a un evento abbastanza ampio da sostenere un argomento di eliminazione del caso.

8. Mode e code: quando la geometria fornisce la descrizione più breve

Le prespecificazioni evitano il conto dell’unione perché la regione di rifiuto è direttamente V*. Esiste però un altro modo di evitare che R debba tener conto di numerose descrizioni brevi: quando la specificazione ha la descrizione più corta possibile, perché sfrutta una struttura matematica intrinseca dello spazio Ω. L’esempio classico è il test di significatività di Fisher, in cui il caso viene rifiutato sia quando l’evento si discosta troppo dall’aspettativa, sia quando le si conforma troppo.

Si pensi a una distribuzione normale. Rifiutiamo il caso quando E cade troppo lontano nelle code (dove la densità è bassa): è il test fisheriano standard. Ma lo rifiutiamo anche quando E cade troppo vicino alla moda (dove la densità è massima), cioè quando i risultati sono «troppo belli per essere veri»: è il caso della falsificazione dei dati del modulo 1, e fu Fisher stesso, nel 1936, a concludere che i dati di Mendel sui piselli erano stati aggiustati perché troppo vicini all’aspettativa.

Perché queste regioni funzionino come specificazioni serve che Ω abbia una metrica canonica, che questa induca una geometria e una misura canonica μ (tipicamente una probabilità uniforme o la misura di Lebesgue), e che la distribuzione P(·|H) sia rappresentata da una funzione di densità f rispetto a μ. «Canonico» significa determinato univocamente rispetto al linguaggio usato per identificare gli eventi in Ω. Questa restrizione non è pedanteria: in una nota gli autori osservano che senza di essa, per qualsiasi funzione positiva g su Ω, si potrebbe costruire una misura rispetto a cui g è la densità, e allora «dove g è piccola e grande potrebbe essere ovunque», invalidando ogni inferenza basata sulle code. È il teorema di Radon–Nikodym a garantire l’esistenza delle densità, ma è la geometria canonica a renderle informative.

Data f, si formano due classi di eventi: per numeri reali positivi r e s, T_r = { x ∈ Ω : f(x) ≥ r } (che al crescere di r si stringe intorno alla moda) e T_s = { x ∈ Ω : f(x) ≤ s } (che al decrescere di s si spinge nelle code). Se per qualche r, T_r include E, allora la densità specifica T_r e quindi E; lo stesso per T_s. La specificazione, in questo caso, «è insita nella semplicità di descrizione della matematica sottostante»: «corrispondenza con la moda di f» e «corrispondenza con la coda di f» sono, come descrizioni matematiche fondate sulla geometria di Ω, le più semplici possibili. Al crescere di r la probabilità di T_r tende a zero, e così al decrescere di s quella di T_s. Dato α, si cerca il più piccolo r′ o il più grande s′ tali che T_r′ o T_s′ includano E con probabilità ≤ α: quello diventa la regione di rifiuto. Non c’è garanzia che uno dei due includa E; dipende da E e da f.

Quando Ω ha un ordinamento naturale (la retta reale, i naturali, l’insieme {0, 1, …, n} di una binomiale), si distinguono coda sinistra e coda destra rispetto a un punto di divisione c. Il punto chiave è che mode e code non sono soltanto indotte da specificazioni: equivalgono direttamente a regioni di rifiuto. Non devono essere ampliate per tener conto degli altri modi in cui l’evento avrebbe potuto essere descritto con complessità uguale o inferiore, perché, sfruttando la geometria canonica, sono già descrittivamente le più semplici. Si potrebbe obiettare che, a rigore, chi usa la coda destra dovrebbe includere anche la sinistra e la moda. In pratica non lo si fa: Fisher, accusando Mendel, guardò solo alla moda; chi trova un evento in fondo alla coda sinistra non si sente obbligato ad aggiungere la destra. «Tecnicamente parlando, forse dovremmo farlo», concedono gli autori, ma con un cutoff α si tiene conto di un margine d’errore tale che, anche se α fosse sbagliato di un fattore 10, le conclusioni reggerebbero (modulo 3).

L’applicazione più chiara è proprio il caso Caputo, che il modulo 4 riprenderà nella logica dell’inferenza. Qui basta anticipare che l’evento «almeno 40 Democratici al primo posto su 41» è la coda unilaterale di una distribuzione binomiale con n = 41 e p = 1/2: 42 esiti su 2⁴¹, poco meno di 1 su 50 miliardi, la cifra che la Corte usò. La corte non aveva un concetto esplicito di specificazione, ma implicitamente ne usò una, e della specie più economica: una coda.

9. Dal linguaggio informale al linguaggio formale

Il capitolo 3 del libro lascia aperto un «punto critico»: la scelta del linguaggio in cui misurare la lunghezza di descrizione. Il capitolo 6 lo chiude, e le sue prime quattro sezioni completano il materiale di questo modulo.

Una breve storia del termine

Il termine «complessità specificata» non nasce nel movimento del disegno intelligente. Risale al 1973, quando Leslie Orgel, in The Origins of Life, scrisse che «gli organismi viventi si distinguono per la loro complessità specificata. I cristalli come il granito non si qualificano come viventi perché mancano di complessità; le miscele di polimeri casuali non si qualificano perché mancano di specificità». Paul Davies, ne Il quinto miracolo (1999), sostenne che «gli organismi viventi sono misteriosi non per la loro complessità in sé, ma per la loro complessità strettamente specificata». Francis Crick, nel 1958, scriveva: «Per informazione intendo la specificazione della sequenza di aminoacidi della proteina». E Richard Dawkins, ne L’orologiaio cieco (1986), definì le cose complicate come quelle che hanno «qualche qualità, specificabile in anticipo, che è altamente improbabile sia stata acquisita solo dal caso», ammettendo che «qualunque cosa si scelga di chiamare la qualità di essere statisticamente improbabile in una direzione specificata senza il senno di poi, è una qualità importante che richiede uno sforzo speciale di spiegazione».

Nessuno di questi autori sviluppò il concetto con precisione teorica; lo trattarono come nozione suggestiva e pre-teorica, e nessuno vi vide un motivo per dedurre il design. Thaxton, Bradley e Olsen lo usarono con cautela in The Mystery of Life’s Origin (1984); Dembski lo collegò esplicitamente al design alla fine degli anni Novanta, e con No Free Lunch (2002), il cui sottotitolo era «perché la complessità specificata non può essere acquistata senza intelligenza», il termine divenne sospetto per il mainstream. Il punto, per questo modulo, è che la parola «specificata» in «complessità specificata» corrisponde esattamente alla nozione di specificazione del capitolo 3: descrizione breve. Ciò che nel linguaggio di Dawkins era «specificabile in anticipo» o «senza il senno di poi» è, nella teoria matura, la brevità di descrizione che rende un modello ricostruibile a prescindere dall’evento.

La lunghezza di descrizione, formalmente

Per rendere rigorosa la lunghezza di descrizione, il libro caratterizza un linguaggio ℒ come una mappa da stringhe di simboli a eventi di Ω: a ogni descrizione valida corrisponde uno e un solo evento. Poi impone tre condizioni prese dalla teoria algoritmica dell’informazione. Il linguaggio deve essere binario (ogni altro sistema di simboli si codifica in 0 e 1, e così tutte le lunghezze si misurano in bit); privo di prefissi (nessuna descrizione valida è prefisso di un’altra: il linguaggio è autodelimitante, e si sa quando una descrizione è finita senza segnali esterni; questo allunga leggermente le descrizioni ma garantisce comparabilità); e Turing-completo (capace di esprimere qualsiasi algoritmo eseguibile da una macchina di Turing, cioè di descrivere qualsiasi modello che un computer possa riconoscere). Quest’ultima condizione, osservano gli autori, non è onerosa: è difficile evitare che un linguaggio non banale sia Turing-completo.

Con queste condizioni, la lunghezza minima di descrizione di un evento X, D(X), è la lunghezza della più breve descrizione W di ℒ con W* = X (infinita se non esiste), una definizione modellata sulla complessità di Kolmogorov, salvo che si applica a eventi di Ω e non a stringhe. Poiché i linguaggi che soddisfano le tre condizioni sono ancora moltissimi, resta la possibilità che due agenti, con due linguaggi, concludano diversamente sullo stesso evento. Gli autori lo ammettono, e lo inquadrano: un’inferenza progettuale non è mai un argomento puramente deduttivo. Anche se la sua logica può essere formulata deduttivamente (modulo 4), le premesse (la distribuzione di probabilità, il linguaggio descrittivo) sono frutto di argomenti non deduttivi, e ogni argomento non deduttivo ammette giudizi divergenti.

Tre considerazioni limitano però la divergenza. La prima è il teorema di invarianza della teoria algoritmica dell’informazione: la differenza fra le lunghezze dei programmi più brevi in due linguaggi Turing-completi è limitata da una costante che dipende solo dai due linguaggi, in sostanza la lunghezza di un «traduttore» dell’uno nell’altro. Per descrivere in francese ciò che è descritto in inglese, si può sempre spiegare in francese come leggere l’inglese e poi allegare la descrizione inglese: un modo macchinoso, ma che fissa un tetto alla differenza. La seconda è la commensurabilità empirica dei linguaggi reali: una frase tradotta in spagnolo non diventa un libro, un trattato in mandarino non diventa una parola in latino; i linguaggi con cui ragioniamo sul mondo condividono una potenza espressiva comune e preservano la concisione nella traduzione. La terza è che i linguaggi nascono da un contesto d’indagine comune, non arbitrariamente, e agenti che condividono il contesto sviluppano linguaggi simili con lunghezze simili. Ne segue che, per molti casi interessanti, l’inferenza non sarà marginale e una piccola differenza di lunghezza non la farà né fallire né riuscire; e che, quando un’inferenza riesce in un linguaggio e fallisce in un altro, la differenza va letta come «una carenza nella lingua che conclude per il caso», perché quella lingua non sa descrivere l’evento con la stessa concisione. Se questo basti, lo discuteremo fra le obiezioni.

Approssimare la lunghezza in pratica

Come si stimano concretamente le lunghezze? Un metodo è enumerare gli elementi di una descrizione, stimare i bit necessari per codificare ciascuno e sommare. Con un vocabolario inglese di circa 200.000 parole, una codifica ingenua assegna a ogni parola log₂(200.000) ≈ 17,6 bit, a ogni coppia circa 35 bit, e così via. Ma una codifica efficiente deve tener conto delle frequenze: parole rare costano di più, parole comuni di meno. Qui entra un ponte fra codici e probabilità che sarà utile anche nel modulo 6. Un codice binario privo di prefissi si converte in una distribuzione di probabilità assegnando 2^−|W| a ogni descrizione W; la disuguaglianza di Kraft garantisce che la somma non superi 1. Viceversa, una distribuzione di probabilità si converte in un codice privo di prefissi in cui la lunghezza del codice di un esito X è circa −log₂ P(X): è la codifica di Shannon. Usando le frequenze delle parole in un corpus Google di un trilione di parole, dove «patriottico» compare circa 4 milioni di volte e «discorso» circa 31 milioni, la codifica congiunta di «discorso patriottico» costa circa −log₂(4×10⁻⁶) − log₂(3,1×10⁻⁵) ≈ 18 + 15 = 33 bit. A rigore una descrizione autonoma dovrebbe specificare anche la distribuzione usata, ma quando questa è ovvia e descrivibile brevemente (uniforme, binomiale) il suo contributo è trascurabile.

Gli autori ribadiscono che si tratta di approssimazioni, e che tutte le lunghezze di descrizione lo sono, sia in un linguaggio ideale sia nel linguaggio di un agente. La tesi è che in pratica le approssimazioni sono abbastanza vicine fra loro, e a qualsiasi presunto valore vero, da rendere coerenti le conclusioni.

Specificazione e complessità insieme

Una condizione, infine, è irrinunciabile: il linguaggio ℒ deve essere indipendente dall’evento in esame. L’esempio degli autori è quello dello schermo di un telefono che cade e si crepa. Ogni particolare reticolo di crepe è altamente improbabile, e ora ha per voi una descrizione brevissima: «le crepe del mio telefono». Ma questa concisione è possibile solo perché il vostro linguaggio, dopo l’evento, dipende dall’evento. Un linguaggio del genere è precisamente ciò che la teoria esclude. Gli autori riconoscono che garantire una stretta indipendenza è difficile, perché gli eventi passati plasmano il linguaggio che usiamo; e ripiegano sulla commensurabilità: nella misura in cui le lunghezze assegnate da ℒ sono commisurate a quelle di altri linguaggi indipendenti dall’evento, le conclusioni restano valide. È questo, non a caso, l’erede della vecchia «staccabilità» della prima edizione.

Messi insieme, i due criteri disegnano una figura. Sull’asse verticale la complessità probabilistica I(X|H) = −log₂ P(X|H), con un limite oltre il quale l’evento è «abbastanza improbabile»; sull’asse orizzontale la lunghezza minima di descrizione D(X), con un limite sotto il quale il modello è «abbastanza semplice». Rifiutiamo il caso per gli eventi nel rettangolo: improbabilità sopra soglia e descrizione sotto soglia. L’unione di tutti questi eventi è esattamente la regione di rifiuto indotta dalla specificazione della sezione 7. Ma questo rettangolo, osservano gli autori, non cattura tutti i casi. Venti teste consecutive (probabilità circa 1 su un milione, descrizione «tutte teste») si rifiutano volentieri; i primi venti bit di Champernowne, 01000110110000010100, hanno la stessa probabilità ma una descrizione più lunga («disponi le cifre binarie in ordine lessicografico crescente»), e si esita. Con cento bit di Champernowne, invece, si rifiuta il caso senza esitazione: la descrizione è la stessa, ma l’improbabilità è passata da 2⁻²⁰ a 2⁻¹⁰⁰, e compensa la lunghezza. Una descrizione più lunga può sempre essere compensata da una probabilità sufficientemente piccola: nella figura, non il rettangolo ma la diagonale. Modellare questo compromesso in un’unica metrica, sottraendo la lunghezza di descrizione dai bit di improbabilità, è la complessità specificata algoritmica, e con essa una nuova regione di rifiuto la cui probabilità è limitata da 2⁻ⁿ. È il programma del modulo 6.

10. Obiezioni

«È il tiratore texano: qualsiasi evento, osservato con abbastanza attenzione, rivela un modello, e la teoria autorizza a dipingere il bersaglio dopo il tiro»

Questa è l’obiezione fondamentale, e va presa nella sua forma più forte. La statistica ha una regola ferrea: la regione di rifiuto si fissa prima di guardare i dati. Chi la fissa dopo commette la fallacia del tiratore texano, che spara al fienile e poi disegna il bersaglio intorno ai fori; nella pratica scientifica si chiama p-hacking o «giardino dei sentieri che si biforcano», ed è una delle cause principali della crisi di replicabilità. La teoria di Dembski ed Ewert ammette esplicitamente specificazioni post hoc, e ammette che non esista alcun algoritmo per trovarle: il modello dipende dalla conoscenza di sfondo, dal contesto, «da fattori psicologici, come gli effetti di priming». Ma allora, dice il critico, l’intero apparato serve a legittimare ciò che la statistica vieta. Berlinski lo ha detto con nettezza: «Una specificazione è un gesto umano», e ogni gesto induce un diverso calcolo di probabilità; l’orologio di Paley è improbabile secondo una specificazione e probabile secondo un’altra.

Va concesso, prima di tutto, che la scoperta della specificazione è un atto non formalizzato, e che in casi marginali agenti diversi possono concludere diversamente; gli autori lo dicono in chiaro. Va concesso anche che l’esempio dello schermo crepato mostra quanto sia facile costruire, dopo l’evento, un linguaggio in cui l’evento ha descrizione breve. La risposta della teoria, però, non è «fidatevi del gesto». È l’intero meccanismo della sezione 7: la regione di rifiuto indotta dalla specificazione è costruita per neutralizzare il tiratore texano. Non si prende la probabilità del bersaglio dipinto; si prende l’unione di tutti i bersagli che si sarebbero potuti dipingere con descrizioni altrettanto brevi, e si divide α per il loro numero M. Nell’esempio della roulette a cento fessure, questo costa un fattore 10⁵⁰. È una correzione per confronti multipli portata all’estremo: invece di correggere per i test effettivamente eseguiti, si corregge per tutti i test esprimibili in dieci parole. Il tiratore texano è battuto non perché gli si vieti di disegnare il bersaglio, ma perché gli si fa pagare in anticipo il conto di ogni bersaglio che avrebbe potuto disegnare.

Quanto a Berlinski, la risposta di Dembski in The Design Revolution è che il critico «omogeneizza in modo spurio tutti i gesti». Se due bersagli sovrapposti, uno enorme e uno minuscolo, sono stati posizionati indipendentemente dalla traiettoria, e la freccia è nell’occhio di bue del minuscolo, il fatto che sia anche in quello dell’enorme è irrilevante. Per un’inferenza riuscita basta una specificazione per cui l’evento mostri complessità specificata, e ciò non implica che se ne trovi sempre una: le specificazioni di bassa complessità descrittiva sono rare. Ciò che la teoria non può fare, e non pretende di fare, è garantire l’indipendenza del linguaggio dall’evento in ogni caso concreto: qui la garanzia è solo la commensurabilità con altri linguaggi, e chi applica la teoria deve mostrare, caso per caso, che la sua descrizione non è «le crepe del mio telefono».

«La lunghezza di descrizione non è computabile ed è relativa al linguaggio: il teorema di invarianza vale solo a meno di una costante che può essere grande a piacere»

Elsberry e Shallit (2011) hanno insistito su questo punto, ed è tecnicamente corretto. La complessità di Kolmogorov non è computabile; il teorema di invarianza dice che due misure differiscono al più per una costante, ma la costante dipende dai due linguaggi e, per linguaggi scelti ad arte, può essere arbitrariamente grande. Un linguaggio potrebbe contenere una primitiva che descrive l’evento in un bit. Allora, dice il critico, «descrizione breve» non ha un significato assoluto, e ogni attribuzione di specificazione è relativa a una scelta che la teoria non controlla. Häggström (2007) ha sollevato, in un contesto vicino, un’obiezione analoga sull’arbitrarietà delle assunzioni di sfondo.

Va concesso che la teoria fornisce limiti, non valori esatti: ogni descrizione trovata è un limite superiore alla lunghezza minima, e ogni regione di rifiuto ha una probabilità limitata superiormente da α, non calcolata. Va concesso anche che in casi marginali la costante d’invarianza fa la differenza. Ma si noti la direzione dei limiti. La non computabilità impedisce di sapere che una descrizione è la più breve; non impedisce di sapere che è breve. Per una specificazione, un limite superiore è tutto ciò che serve, e la definizione di D(V) è stata costruita apposta perché D(V) ≤ |V|. Quanto alla costante d’invarianza, la risposta del libro è duplice: da un lato il linguaggio deve essere indipendente dall’evento, e una primitiva introdotta per descrivere quell’evento viola la condizione; dall’altro i linguaggi reali sono empiricamente commensurabili, e un’inferenza che non è marginale sopravvive a differenze di qualche decina di bit. Nell’esempio della roulette a cento fessure il margine è di cinquanta ordini di grandezza. Resta vero che la teoria non offre un linguaggio canonico, e che chi la applica deve dichiarare il suo e difenderne l’indipendenza: è un onere reale, non un cavillo.

«Il test di significatività di Fisher non è un’inferenza valida senza ipotesi alternative: rifiutare il caso perché un evento è improbabile è, di per sé, una fallacia»

È l’obiezione di Sober, sviluppata con Fitelson e Stephens (1999) e ripresa nel 2002. Nella forma più forte: la probabilità di un evento sotto un’ipotesi non dice nulla sull’ipotesi finché non la si confronta con la probabilità dello stesso evento sotto un’ipotesi rivale. Ogni esito di mille lanci ha probabilità 2⁻¹⁰⁰⁰, eppure non rifiutiamo l’equità della moneta; e se rifiutiamo il caso per mille teste, è perché disponiamo di un’ipotesi rivale (moneta truccata) sotto cui l’evento è più probabile. La specificazione, per Sober, è solo un modo indiretto di contrabbandare l’alternativa: chiamare «specificato» un evento è dire che esiste un’ipotesi che lo rende probabile. Se è così, l’intera costruzione delle regioni di rifiuto è ridondante o fuorviante, e il quadro corretto è quello della verosimiglianza, dove l’inferenza è sempre comparativa.

Va concesso che la statistica fisheriana e quella bayesiana o verosimiglianzista sono programmi in tensione, e che il libro stesso dedica a questo confronto una parte del capitolo 6 e l’Appendice A: il modulo 5 lo tratterà per esteso. Va concesso anche che le regioni di rifiuto presuppongono che la distribuzione P(·|H) sia stata correttamente identificata; se H è sbagliata, la regione è sbagliata, e il modulo 8 mostrerà quanto sia difficile identificarla in biologia. Ciò che questo modulo può dire è più limitato. Primo, la specificazione non è un’ipotesi alternativa: «trentadue rossi di fila» non dice come sia avvenuto l’evento, dice solo che il modello ha descrizione breve. Il fatto che i modelli brevi siano pochi (è un fatto combinatorio, non un’ipotesi causale) è ciò che permette di limitare la probabilità dell’unione. Secondo, la pratica scientifica usa regioni di rifiuto fisheriane in continuazione, e le usa in modo post hoc ogni volta che Maynard Smith elimina un’origine indipendente o Fisher accusa Mendel; la teoria della specificazione rende esplicito il conto che quella pratica lascia implicito. Terzo, e il modulo 4 lo svilupperà, il libro non nega che l’eliminazione del caso preceda logicamente e non sostituisca l’inferenza al design: la specificazione elimina, non conclude.

«In biologia la “specificazione funzionale” è vaga: quale funzione, a quale livello di descrizione, in quale linguaggio?»

La forma più forte di questa obiezione non contesta la teoria astratta, ma la sua applicabilità dove conta. Un flagello, una proteina, un genoma si possono descrivere in termini funzionali, strutturali, molecolari, atomici; ogni livello produce lunghezze di descrizione e probabilità diverse; e la funzione stessa («far muovere il batterio») è una descrizione umana, non un fatto della natura. Se il naturalismo ha ragione, la natura non sa nulla di queste descrizioni; come possono allora servire da specificazioni epistemicamente oggettive?

Dembski, in The Design Revolution, risponde usando la distinzione di Searle fra oggettività ontologica ed epistemica: le specificazioni sono ontologicamente soggettive (dipendono da soggetti che conoscono un linguaggio) ma epistemicamente oggettive (una volta date, chiunque può verificarle), esattamente come il matrimonio o il denaro; e le probabilità, una volta data la specificazione, sono ontologicamente oggettive. Aggiunge che il linguaggio funzionale è indispensabile alla biologia: sopravvivenza e riproduzione sono esse stesse descrizioni funzionali. Va concesso, però, ciò che Dembski stesso concede subito dopo: «Le specifiche non sono il problema… se c’è un problema, risiede nella complessità», cioè nella nostra valutazione delle probabilità, che «può essere sbagliata». Questo modulo ha stabilito che cosa sia una specificazione e come induca una regione di rifiuto; non ha stabilito, e non poteva, che una specifica struttura biologica abbia probabilità inferiore ad α sotto tutte le ipotesi di caso rilevanti. Quella è la parte difficile, ed è rinviata ai moduli 7 e 8.

I limiti dell’argomento di questo modulo

Conviene dire con precisione che cosa questo modulo ha stabilito e che cosa no. Ha stabilito una definizione: una specificazione è un modello con descrizione breve in un linguaggio indipendente dall’evento, e questa definizione riassorbe le nozioni più vaghe di staccabilità e indipendenza. Ha stabilito una costruzione: da una specificazione di base, un limite di lunghezza m e un limite di probabilità α si ottiene una regione di rifiuto di probabilità ≤ α che contiene l’evento e che tiene conto di tutte le specificazioni concorrenti. Ha stabilito che prespecificazioni, mode e code sono casi particolari in cui la costruzione si semplifica. Non ha stabilito quanto debba essere piccolo α, né perché 10⁻¹⁵⁰ sia una scelta difendibile (modulo 3). Non ha stabilito che l’eliminazione del caso autorizzi a concludere il design, né come si passi dal rifiuto di una famiglia di ipotesi di caso a un’inferenza positiva (modulo 4). Non ha risolto la scelta del linguaggio, ma solo argomentato che la sua arbitrarietà è limitata (modulo 6). E non ha applicato nulla alla biologia: ogni affermazione secondo cui una proteina o un genoma «è specificato e improbabile» richiede, oltre a una specificazione, un calcolo di probabilità sotto le ipotesi di caso pertinenti, che è un problema empirico e non una conseguenza della teoria (moduli 7 e 8). L’argomento di questo modulo è quindi interamente negativo e interamente preliminare: fissa le regole per dipingere il bersaglio, e nulla più.

Concetti chiave

1. La sola improbabilità non elimina il caso; serve la coincidenza con un modello, e non con un modello qualsiasi. I modelli legittimi (specificazioni) hanno descrizione breve; quelli illegittimi (fabbricazioni) si ottengono solo ricopiando l’evento.
2. Due complessità in direzioni opposte. Un’inferenza richiede alta complessità probabilistica (piccola probabilità, molti bit) e bassa complessità descrittiva (descrizione breve, pochi bit). Entrambe si misurano in bit e sono quindi commensurabili.
3. La lunghezza minima di descrizione non è computabile, ma non serve che lo sia. Ogni descrizione breve trovata è un limite superiore alla lunghezza minima, e per una specificazione un limite superiore basta.
4. Un modello V descrive un evento E se V* include E; la specificità misura quanto V restringe le possibilità. Allungare la descrizione abbassa la probabilità dell’evento descritto; il compromesso fra i due è il cuore della teoria.
5. Casualità e non casualità sono asimmetriche. La casualità è una designazione provvisoria che una specificazione scoperta può revocare (Champernowne); la non casualità, una volta vista, è definitiva.
6. Le prespecificazioni hanno sempre descrizione breve, anche solo implicita, perché rimandano a un modello già articolato; sono le regioni di rifiuto della statistica classica e nascono anche dalle coincidenze.
7. Una specificazione post hoc induce una regione di rifiuto conservativa: l’unione di tutti gli eventi con descrizione ≤ m e probabilità ≤ α/M, la cui probabilità è ≤ α. È una correzione per confronti multipli estesa a tutti i bersagli descrivibili.
8. Mode e code equivalgono direttamente a regioni di rifiuto, perché sfruttano la geometria canonica dello spazio; il linguaggio, invece, deve essere indipendente dall’evento, e la sua arbitrarietà è limitata dal teorema di invarianza e dalla commensurabilità.

Per approfondire

• Complessità specificata: come riconoscere matematicamente il design — l’introduzione al filtro esplicativo e alla soglia dei 500 bit che questo modulo presuppone e approfondisce.
• Ordine, caso e informazione: le tre categorie che quasi tutti confondono — la distinzione fra ordine ripetitivo e informazione specificata, che qui diventa distinzione fra descrizioni brevi e lunghe.
• Il metodo scientifico dell’ID: come si riconosce un progetto? — il quadro metodologico generale in cui la specificazione è uno strumento.
• Filosofia della scienza e Disegno Intelligente — sul carattere non deduttivo delle premesse e sul ruolo della conoscenza di sfondo, temi toccati nelle obiezioni.
• L’enigma dell’origine dell’informazione biologica: perché il caso non basta — dove la specificazione funzionale incontra il problema biologico rinviato ai moduli 7 e 8.
• Percorso Matematica del Design — indice del percorso, con il modulo 1 (storia e logica dell’eliminazione del caso) e i moduli successivi.

Riferimenti

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